导出复利公式

用例子示范怎样导出复利公式!

复利的计算是先计算第一期的利息,把利息加到本金上,然后用新的本金计算下一期的利息,就这样重复下去:

复利 ¥1000,10%=¥100,¥1100,10%=¥110,¥1210,10%=¥121 等等

做个公式

我们先看第一年:

¥1,000.00 &lus;(¥1,000.00 × 10%)= ¥1,100.00

这可以重排为:

复利逐步来

加 10% 就是乘以 1.10

(注意:把利率除以 100 来转换为小数:10% = 10/100 = 0.10,去这里学习百分比。)

公式在任何年份都适用:

像这样:

复利 ¥1000 x1.1 ¥1100 x1.1 ¥1210 x1.1 ……

这样乘 5次,我们就可以直接计算第五年的金额:

¥1,000 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 × 1.10 = ¥1,610.51

指数(幂)来写比较简单:

¥1000 x 1.10^5 = ¥1610.51

公式

上面是个实例,但我们也可以用字母和符号做一个一般通用的公式:

PV x (1+r)^n = FV

(和上面的计算比较一下:PV = ¥1,000, r = 0.10, n = 5, and FV = ¥1,610.51)

 

例子

我们现在来看一些例子……
…… 如果年期是 15年呢?……改变 "n" 的值:

¥1000 x 1.10^15 = ¥4177.25

……如果年期是 5年,但利率是 6% 又怎么样?

¥1000 x 1.06^5 = ¥1338.23

(注意乘数是 1.06,不是 1.6)

四个公式

所以复利的基本公式是:

FV = PV (1+r)n

如果已知现值 PV、利率 r和期数 n,我们可以用这个公式来求终值 FV

我们可以重排公式来求现值、利率或期数,如果我们已经知道另外三个变量。

这是四个公式:

FV = PV (1+r)n   终值e,如果已知现值、利率和期数。
     
PV = FV / (1+r)n   现值,如果已知终值、利率和期数。
     
r = ( FV / PV )1/n - 1   利率,如果已知现值、终值和期数。
     
n = ln(FV / PV) ln(1 + r)   期数,如果已知现值、终值和利率

 

这些公式是怎样来的?

求现值

例子:小山想在 5年后有 ¥2,000,年利率是 10%,他一开始需要多少钱?

这就是说,已知终值,想求现值

重排基本公式……每边除以 (1+r)n

开始:   FV = PV (1+r)n
换边:   PV (1+r)n = FV
每边除以 (1+r)n:   PV = FV (1+r)n

答案:

例子(续):

PV = ¥2,000 / (1+0.10)5 = ¥2,000 / 1.61051 = ¥1,241.84

所以小山一开始需要 ¥1,241.84

像这样:

pv 与 fv

再举个例:你现在需要投资多少钱,才能以 8%年利率在 10年后得到 ¥10,000?

PV = ¥10,000 / (1+0.08)10 = ¥10,000 / 2.1589 = ¥4,631.93

投资 ¥4,631.93,利率为 8%,10年后便会增长到 ¥10,000

求利率

例子:小山有 ¥1,000,他想在 5年后增长到 ¥2,000,需要的利率是多少?

我们又来重排公式:

开始::   FV = PV (1+r)n
换边:   PV (1+r)n = FV
每边除以 PV:   (1+r)n = FV PV
每边取n 次方根   1+r = ( FV PV )1/n
每边减 1:   r = ( FV PV )1/n − 1

(注意:想了解 "取 n 次方根",去这里阅读分数指数

结果是:

r = ( FV / PV )1/n − 1

现在我们只需要 "代入" 数值来得到答案:

例子(续):

r =(¥2,000 / ¥1,000)1/5 − 1
=(2)0.2 − 1
= 1.1487 − 1
= 0.1487

0.1487 以百分比来表达是 14.87%

所以小山需要 14.87% 的利率来在 5年后把 ¥1,000 变成 ¥2,000。

再举个例:在 20年后把 ¥1,000 变成 ¥5,000 的利率是多少??

r =(¥5,000 / ¥1,000))1/20 − 1 =(5)0.05 − 1 = 1.0838 − 1 = 0.0838

0.0838 就是 8.38%。所以 8.38% 的利率可以在 20年后把 $1,000 变成 ¥5,000。

求期数

例子:小山投资的年利率是 10%,他需要多少年才能得到 ¥2,000?

都是一样,重排基本公式。

但这一次我们也需要用自然对数函数 ln()

开始:   FV = PV (1+r)n
换边:   PV (1+r)n = FV
每边除以 PV:   (1+r)n = FV / PV
对数   ln(1+r) × n = ln( FV / PV )
每边除以 ln(1+r):   n = ln( FV / PV ) ln(1+r)

(注意:想多点了解怎样"用对数",去这里阅读使用指数与对数)。

"代入"数值:

例子(续):

n = ln( ¥2,000 / ¥1,000 ) / ln( 1 + 0.10 ) = ln(2)/ln(1.10) = 0.69315/0.09531 = 7.27

惊艳!要 7.27年和 10% 年利率来把 ¥1,000 变成 ¥2,000。

小山要等 7年多。

 

再举个例:年利率是 5%,¥1,000 要几年才能变成 ¥10,000?

n = ln( ¥10,000 / ¥1,000 ) / ln( 1 + 0.05 ) = ln(10)/ln(1.05) = 2.3026/0.04879 = 47.19

47年!这不稀奇,因为金额大了十倍,而利率只不过是 5%。

总结

了解怎样导出和使用公式,你便会更容易记住公式,并且懂得在不同情况下应用公式。