代数里的绝对值

绝对值的意思是……

……一个数离零有多远

绝对值两边都是6

"6" 和零的距离是 6,
而"−6"和零的距离也是 6。

所以 6 的绝对值是 6
而 −6 的绝对值是也是 6

绝对值符号

要表达一个数的绝对值,使用 "|" 符号 ("直线"),像这样:

|−5| = 5 |7| = 7

垂直线 "|" 符号通常是在键盘的回车键(输入键)上面。

“官方宣言”

所以,要找绝对值,正数和零保持不变,而负数就转为正数。

写下来是这样:

绝对值

x的绝对值等于:

例子:|−17|是什么?

数是小于零的,所以要计算"−x":

− (−17) = 17

(因为负负得正)

有用的特征

以下是绝对值的一些有用特征:

|a| ≥ 0 ,永远都是!

这合理……|a|永远不能小于零。

|a| = √(a2

a 的二次幂是正数或零(若 a是实数)。计算二次幂的平方根时把数"还原"了,但仍然保持为正数或零。

|a × b| = |a| × |b|

就是说,以下是相同的:

这对解题会很有用

|u| = a u = ±a 的意思是一样的

这往往是解大部分绝对值数题的关键。

例子:解 |x+2|=5

用这个特征:"|u| = a 的意思是 u = ±a":

这:   |x+2|=5
和以下一样:   x+2 = ±5

这方程有两个答案:

x+2 = −5 x+2 = +5
x = −7 x = 3

用图来显示

为以上例子画个图:

|x+2| = 5

"=0" 的公式比较容易画图,所以每边减5:

|x+2| − 5 = 0

这是|x+2|−5的图,但为了好玩,我们用移动的方法来画这个图

|x+2| - 5 = 0
首先画 |x| 然后向左移,成为 |x+2| 再向下移,成为 |x+2|-5

两个解(画圈的)是−7+3.

绝对值不等式

把绝对值和不等式掺在一起就需要小心处理了!

有4种不等式:

<   >
小于 小于
或等于
  大于 大于
或等于

小于、小于或等于

"<" 和 "" 会有一个以零为中心的区间

例子:解 |x| < 3

这就是说从x到零的距离是小于3:

-3 到 3

所有在 -3 和 3 之间的数(但不包括 3 和 -3 )

可以重写为:

−3 < x < 3

作为一个区间,这可以写为: (−3, 3)

"小于或等于"也是一样:

例子:解 |x| ≤ 3

所有在 -3 和 3 之间的数,包括 -3 和 3

可以重写为:

−3 ≤ x ≤ 3

作为一个区间,这可以写为: [−3, 3]

看看一个较为复杂的例子:

例子:解 |3x-6| ≤ 12

重写为:

−12 ≤ 3x−6 ≤ 12

加 6:

−6 ≤ 3x ≤ 18

最后,乘以(1/3)。乘以正数不会改变不等式:

−2 ≤ x ≤ 6

行了!

作为一个 区间,这可以写为: [−2, 6]

大于、大于或等于

这个有点不同……会有两个分开的区间

例子: |x| > 3

像这样:

|x| > 3

大至 -3 大于 3

可以重写为

x < −3   or   x > 3

作为一个区间,这可以写为: (−∞, −3) U (3, +∞)

小心!不要写成

−3 > x > 3     不对!

"x" 不能同时小于 -3 大于 3

应该是这样:

x < −3     x > 3     对

"x" 小于 −3 大于 3

 

"大于或等于"也是一样:

例子:解 |x| ≥ 3

可以重写为

x ≤ −3     x ≥ 3

作为一个区间,这可以写为: (−∞, −3] U [3, +∞)