点积

矢量量值和方向

这是两个矢量:

矢量

它们可以用 "点积" 的方法来 相乘 (也去看看 叉积)。

运算

点积的结果是个 (是 "标量",而不是 矢量)。

点积是用中点来表示:

a · b
这个式子的意思是 ab 的点积

点积是这样计算的:

点积量值和角

a · b = |a| × |b| × cos(θ)

其中:
|a| 是 矢量 a 的量值
|b| 是 矢量 b 的量值
θ 是 ab 之间的 角度

a 的长度 乘以 b 的 长度,再乘以 ab 之间的角的余弦

 

我们也可以这样计算:

点积部分

a · b = ax × bx + ay × by

把两个矢量的 x 相乘,y 相乘,然后相加。

两个方法都可以!

例子:求 ab 的 点积:

点积例子

a · b = |a| × |b| × cos(θ)

a · b = 10 × 13 × cos(59.5°)
a · b = 10 × 13 × 0.5075……
a · b = 65.98…… = 66 (舍入后)

a · b = ax × bx + ay × by

a · b = -6 × 5 + 8 × 12
a · b = -30 + 96
a · b = 66

两个方法的结果是相同的(舍入后)

请留意:我们用了 负6 为 ax 的值(它指着 负x 的方向)

注意:你可以用 矢量计算器 来做。

为什么用 cos(θ) ?

要把两个方向相同的矢量相乘,合理的做法是把它们的长度相乘,但如果它们的方向不同就有点不对了。

所以我们乘以 cos(θ),这就像把其中一个矢量变成 "指着另一个矢量的方向"了:

点积 |a| cos(theta)   点积照着光
我们用与 b 方向相同的 a 的部分
  好像用光照着来找影子一样

然后我们才做乘法!

如果我们把 b "投影" 到 a,然后相乘,得出来的答案将会是一样的:

因为点积乘法的次序并不重要:

|a| × |b| × cos(θ) = |a| × cos(θ) × |b|

点积 |b| cos(theta)

直角

当两个矢量是互相垂直时,它们的点积是

例子:求以下矢量的点积:

点积直角

a · b = |a| × |b| × cos(θ)

a · b = |a| × |b| × cos(90°)
a · b = |a| × |b| × 0
a · b = 0

a · b = ax × bx + ay × by

a · b = -12 × 12 + 16 × 9
a · b = -144 + 144
a · b = 0

这是确定两个矢量是否互相垂直的好方法。

三维或更高

以上也适用于 3 (或更多)维。

非常有用!

例子:璐璐测量了两根旗杆的尖端的位置,她想知道它们 之间的角度

点积 3d

这是个 3维 的命题,别忘了 z 的部分:

a · b = ax × bx + ay × by + az × bz

a · b = 9 × 4 + 2 × 8 + 7 × 10
a · b = 36 + 16 + 70
a · b = 122

 

用另一个公式:

a · b = |a| × |b| × cos(θ)

|a| 是什么?它是矢量 a 的量值(长度)。我们可以用 勾股定理来求:

|b| 也一样:

我们在上面求到 a · b = 122,所以:

a · b = |a| × |b| × cos(θ)

122 = √180 × √134 × cos(θ)
cos(θ) = 122 / (√180 × √134)
cos(θ) = 0.7855……
θ = cos-1(0.7855……) = 38.2……°

做好了!

我以前做过一个类似的运算,但那次我用角度和距离来做的 …… 非常困难,涉及很多三角法,要绞尽脑汁来做。上面的方法容易多了。

叉积

点积是个 标量 (普通的数,也称为 标量积)。

还有一个积,叫 叉积。叉积是个 矢量,也称为 矢量积