点积
这是两个矢量：
它们可以用 "点积" 的方法来 相乘 （也去看看 叉积）。
运算
点积的结果是个 数 （是 "标量"，而不是 矢量）。
点积是用中点来表示：
a · b
这个式子的意思是 a 和 b 的点积
点积是这样计算的：
a · b = |a| × |b| × cos(θ)
其中：
|a| 是 矢量 a 的量值
|b| 是 矢量 b 的量值
θ 是 a 和 b 之间的 角度
把 a 的长度 乘以 b 的 长度，再乘以 a 和 b 之间的角的余弦
我们也可以这样计算：
a · b = ax × bx + ay × by
把两个矢量的 x 相乘，y 相乘，然后相加。
两个方法都可以！
例子：求 a 和 b 的 点积：
a · b = |a| × |b| × cos(θ)
a · b = ax × bx + ay × by
两个方法的结果是相同的（舍入后）
请留意：我们用了 负6 为 ax 的值（它指着 负x 的方向）
注意：你可以用 矢量计算器
来做。
为什么用 cos(θ) ？
要把两个方向相同的矢量相乘，合理的做法是把它们的长度相乘，但如果它们的方向不同就有点不对了。
所以我们乘以 cos(θ)，这就像把其中一个矢量变成 "指着另一个矢量的方向"了：
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| 我们用与 b 方向相同的 a 的部分 |
好像用光照着来找影子一样 |
然后我们才做乘法！
如果我们把 b "投影" 到 a，然后相乘，得出来的答案将会是一样的： 因为点积乘法的次序并不重要： |a| × |b| × cos(θ) = |a| × cos(θ) × |b| |
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直角
当两个矢量是互相垂直时，它们的点积是 零。
例子：求以下矢量的点积：
a · b = |a| × |b| × cos(θ)
a · b = ax × bx + ay × by
这是确定两个矢量是否互相垂直的好方法。
三维或更高
以上也适用于 3 （或更多）维。
非常有用！
例子：璐璐测量了两根旗杆的尖端的位置，她想知道它们 之间的角度：
这是个 3维 的命题，别忘了 z 的部分：
a · b = ax × bx + ay × by + az × bz
用另一个公式：
a · b = |a| × |b| × cos(θ)
|a| 是什么？它是矢量 a 的量值（长度）。我们可以用 勾股定理来求：
- |a| = √(42 + 82 + 102)
- |a| = √(16 + 64 + 100)
- |a| = √180
|b| 也一样：
- |b| = √(92 + 22 + 72)
- |b| = √(81 + 4 + 49)
- |b| = √134
我们在上面求到 a · b = 122，所以：
a · b = |a| × |b| × cos(θ)
做好了！
我以前做过一个类似的运算，但那次我用角度和距离来做的 …… 非常困难，涉及很多三角法，要绞尽脑汁来做。上面的方法容易多了。
叉积
点积是个 标量 （普通的数，也称为 标量积）。
还有一个积，叫 叉积。叉积是个 矢量，也称为 矢量积。