矢量

这是个矢量:

矢量有量值（大小）及方向：

线的长度代表矢量的量值，而箭头指着它的方向。

把两个矢量相加就是把它们头尾连接起来：

相加（连接）的次序不重要，结果是一样的：

速度、加速度、力 和很多其他的东西都是矢量。

减

我们也可以用把一个矢量减去另一个矢量：

• 先把要减去的矢量倒转方向，
• 然后相加：

a − b

记法

矢量通常是以 粗体 字母来记录，像 a 或 b。

矢量也可以写成 它的头（始点）和尾（终点）的字母，上面再放个箭头，像这样：

运算

我们怎样做矢量的运算呢？

最常用的方法是先把矢量拆分为 x部分 与 y部分，像这样：

矢量 a 被分拆为
两个矢量：a_x 和 a_y

（我们会在 下面 解释。）

加矢量

加矢量的做法是： 加 x部分 和 加 y部分：

矢量 (8,13) 和 矢量 (26,7) 加起来是 矢量 (34,20)

减矢量

先把要减去的矢量倒转，然后和另一个矢量相加。

矢量的量值

矢量两旁有垂直线条代表它的量值：

|a|

也可以用双垂直线条，以免和绝对值混淆：

||a||

我们用 勾股定理 来求矢量的量值：

|a| = √( x² + y² )

量值为 1 的矢量称为 单位矢量。

矢量与标量

标量 只有量值 （大小）。

矢量 有 量值 和 方向，通常用 粗体 来写，以区别于 标量：

• 所以 c 是矢量，有量值和方向
• 但 c 只一个值，像 3 或 12.4

矢量乘以标量

把矢量乘以标量的运算是叫 "缩放" 矢量，因为这运算改变了矢量的大小。

 

矢量乘以矢量（点积和叉积）

怎样把两个矢量相乘？有两一个方法！ 标积（也称点积） （结果是标量）。 矢积（也称叉积） （结果是标量）。 （阅读这些网页来了解更多。）

 

多过 2维

矢量在 3维或更高也适用：

矢量 (1,4,5)

以下是 4维 的例子（但画不出来！）：

 

量值与方向

我们可能知道矢量的量值和方向，但需要它的 x 和 y 长度（或相反）：

	<=>
极坐标里的 矢量 a		迪卡儿坐标里的 矢量 a

在 极坐标和迪卡儿坐标 里你可以查阅怎样转换他们，以下是一个摘要：

 

 

例子

小山 和 小王在拖一个箱子。

• 小山 以 200牛顿 的力向 60°的方向拉
• 小王 以 120牛顿 的力向 45°的方向拉 （如图）

两个人的力合起来有多大，方向是什么？

 

我们来把两个矢量头尾连接起来：

先从极坐标转换为迪卡儿坐标 （保留两位小数）：

小山 的 矢量：

• x = r × cos( θ ) = 200 × cos(60°) = 200 × 0.5 = 100
• y = r × sin( θ ) = 200 × sin(60°) = 200 × 0.8660 = 173.21

小王 的 矢量：

• x = r × cos( θ ) = 120 × cos(-45°) = 120 × 0.7071 = 84.85
• y = r × sin( θ ) = 120 × sin(-45°) = 120 × -0.7071 = −84.85

像这样：

相加：

(100, 173.21) + (84.85, −84.85) = (184.85, 88.36)

这是正确的答案，不过最好把它转换回极坐标，因为问题本来是用极坐标的：

• r = √ ( x² + y² ) = √ ( 184.85² + 88.36² ) = 204.88
• θ = tan^-1 ( y / x ) = tan^-1 ( 88.36 / 184.85 ) = 25.5°

答案（舍入后）是：

小山和小王的情形是这样的：

如果他们肩并肩地站立拉得会更有力！