连续函数
连续函数的图是一条连续不断的线……
……你可以笔不离纸地把线画下来……
这不是个正式的定义，但可以帮你了解概念。
这是个连续函数：
例子：
什么不是连续函数（也称 非连续函数）？
留意这些现象：缺口、间隙或垂直渐近线（函数向上或下趋向无穷大）。
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| 非连续 |
非连续 |
非连续 |
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| （缺口） | （间隙） | （垂直渐近线） |
试试这些函数：
（用滑标可以放大/缩小、拖曳可以移位、点击可以置于中部。）
定义域
函数有个定义域。 定义域最简单的意思就是所有可以代入函数的值。 |
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根据定义域的不同，函数可以是连续或非连续！
例子：1/(x-1)
在 x=1：
所以在 x=1 有个 "不连续点"
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| f(x) = 1/(x-1) 对于全部 整数 |
g(x) = 1/(x-1) 对于 x>1 | |
| 非连续 | 连续 |
g(x) 并不包括 x=1，所以它是连续的。
所以若函数在其定义域是连续的，它便是连续函数。
更正式的解释！
我们可以用 极限 来为 连续 下定义 （最好先去阅读该网页）：
函数 f 是连续的，当：对于 每个 在其定义域的值，c：
f(c) 是 已定义的，并且：
"当 x 趋近 c 时，f(x) 的极限等于 f(c)"
极限的意思是：
"当 x 越来越趋近 c 时
f(x) 便越来越趋近 f(c)"
在每边趋近 c 都需要是这样：
| x （从左边）趋近 c f(x) 便趋近 f(c) |
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| 并且 x （从右边）趋近 c f(x) 便趋近 f(c) |
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若从左边趋近的值和从右边趋近的值不同（"间隙"），极限便不存在！
怎样使用：
对于所有 x 值，确保：
- f(x) 是已定义的
- 在 x 的极限等于 f(x)
举些例子：
例子：f(x) = (x2-1)/(x-1) 对于所有实数
函数在 x=1 时是未定义的：
(x2-1)/(x-1) = (12-1)/(1-1) = 0/0
所以 不是连续函数
我们来改变定义域：
例子：g(x) = (x2-1)/(x-1) 对于区间 x<1
差不多 是相同的函数，但定义域不包括 x=1。
所以它现在是个连续函数（不包括 "缺口"）
例子：这个 分段函数 呢？
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图像这样： |  |
函数在 x=1 是已定义的，因为 h(1)=2 （没有 "缺口"）
但在 x=1 你不能确定极限是多少，因为答案有两个可能：
- "2" （从左边），
- "1" （从右边）
实际上，极限在 x=1 并不存在（有个 "间隙"）
因此，函数不是连续的。
可是：
例子：这个分段函数――绝对值
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图象这样： |  |
在 x=0 有一个尖锐的改变！
但函数在 x=0 仍然是已定义的，因为 f(0)=0 （没有 "缺口"），
趋近 x=0 的极限（从每边）都是 0 （没有 "间隙"），
所以函数是连续的。
（但函数不是 可微分的。）