连续函数

连续函数的图是一条连续不断的线……

铅笔……你可以笔不离纸地把线画下来……

这不是个正式的定义,但可以帮你了解概念。

这是个连续函数:

x^4-2x^2+x

例子:

什么不是连续函数(也称 非连续函数)?

留意这些现象:缺口、间隙或垂直渐近线(函数向上或下趋向无穷大)。

连续缺口   连续间隙   连续渐近线
连续
  连续
  连续
(缺口)   (间隙)   (垂直渐近线)

试试这些函数:

(用滑标可以放大/缩小、拖曳可以移位、点击可以置于中部。)

定义域

函数有个定义域。

定义域最简单的意思就是所有可以代入函数的值。

  定义域与值域

根据定义域的不同,函数可以是连续或非连续!

例子:1/(x-1)

在 x=1:

1/(1-1) = 1/0 = 未定义

所以在 x=1 有个 "不连续点"

连续渐近线   连续渐近线排除
f(x) = 1/(x-1)
对于全部 整数
  g(x) = 1/(x-1) 对于 x>1
非连续   连续

 

g(x) 并包括 x=1,所以它是连续的。

所以若函数在其定义域是连续的,它便是连续函数。

更正式的解释!

我们可以用 极限 来为 连续 下定义 (最好先去阅读该网页):

函数 f 是连续的,当:对于 每个 在其定义域的值,c

f(c) 是 已定义的,并且:

连续极限定义 f(x) 的 lim x->c = f(c)
"当 x 趋近 c 时,f(x) 的极限等于 f(c)"

极限的意思是:

"当 x 越来越趋近 c 时
f(x) 便越来越趋近 f(c)"

在每边趋近 c 都需要是这样:

x (从左边)趋近 c
f(x) 便趋近 f(c)
  连续极限图
     
并且
x (从右边)趋近 c
f(x) 便趋近 f(c)
  连续极限图

若从左边趋近的值和从右边趋近的值不同("间隙"),极限便不存在!

怎样使用:

对于所有 x 值,确保:

举些例子:

例子:f(x) = (x2-1)/(x-1) 对于所有实数

图 (x^2-1)/(x-1) 缺口

函数在 x=1 时是未定义的:

(x2-1)/(x-1) = (12-1)/(1-1) = 0/0

所以 是连续函数

我们来改变定义域:

例子:g(x) = (x2-1)/(x-1) 对于区间 x<1

差不多 是相同的函数,但定义域包括 x=1。

所以它现在个连续函数(不包括 "缺口")

例子:这个 分段函数 呢?

h(x) = { 2 若 x<=1,x 若 x>1 }   图像这样:   连续间隙图

函数在 x=1 是已定义的,因为 h(1)=2 (没有 "缺口")

但在 x=1 你不能确定极限是多少,因为答案有两个可能:

实际上,极限在 x=1 并不存在(有个 "间隙")

因此,函数不是连续的。

可是:

例子:这个分段函数――绝对值

绝对值函数   图象这样:   绝对值函数

在 x=0 有一个尖锐的改变!

但函数在 x=0 仍然是已定义的,因为 f(0)=0 (没有 "缺口"),

趋近 x=0 的极限(从每边)都是 0 (没有 "间隙"),

所以函数是连续的。

(但函数不是 可微分的。)