定义域、值域和陪域
简略地说，定义域是所有输入一个函数的值，而值域则是所有函数生成的值。
对一个函数的定义来说，它们是非常重要的，
请先去阅读 "函数是什么？" ……
函数
函数显示输入与输出的关系：
例子：这棵树每年长高 20厘米，所以树的高度与它年龄的关系可以用函数 h 来显示：
h(年龄) = 年龄 × 20
所以，如果年龄是 10年，高度就是 h(10) = 200厘米
"h(10) = 200" 就是说 10 和 200 是有关联的： 10 → 200
输入与输出
但不是所有的值都可以这样的！
- 如果把不合适的数值（例如负值的年龄）输入这个函数，结果就不成立，
- 知道正确输出的属性（例如高度一定要是正数）也会有用
所以我们需要描述函数所有允许的输入和输出。
最好是用 集合 ……
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集合（简：集）是由一个或多个确定的东西（通常是数字）所构成的整体。这是一些例子： 偶数集：{..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}
奇数集：{..., -3, -1, 1, 3, ...} 质数集：{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...} 小于十的三的倍数：{3, 6, 9} |
函数是用集合来定义的：
函数的正式定义函数把一个集里的每一个元素 |
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定义域、值域和陪域
函数允许的输入和可能的输出都有特定的名词：
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允许输入到一个函数的集合称为定义域 |
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函数的可能输出叫培域 |
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函数的实际输出叫值域 |
例子
•"A"集是定义域，
•"B"集是陪域,
•在B集里与A集有关联的元素（函数的实际输出）就是值域，也成为其图象。
在这个例子里：
- 定义域：{1, 2, 3, 4}
- 陪域：{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
- 值域：{3, 5, 7, 9}
函数的部分
函数的输出 （值域）决定于函数的输入 （定义域） ……
…… 而定义域是随我们定义的！
定义域是函数必须的部分。改变了定义域也就改变了函数。
例子：一个简单的函数，例如 f(x) = x2 的定义域（输入）可以是正整数 {1,2,3,...}，值域就是集合 {1,4,9,...}
另一个函数 g(x) = x2 的定义域可以是所有整数 {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}，值域就是集合 {0,1,4,9,...}
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虽然两个函数都是取输入的平方，它们输入的集是不同的，所以输出也是不同的。 g(x) 的值域也包括 0. |
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两个函数的属性也有点不同。 例如，f(x) 的的结果是独特的，但同一个 g(x) 的结果可以是从两个不同的输入而来的（例如 g(-2)=4，g(2)=4) |
所以定义域是函数必须的部分。
函数一定有定义域吗？
对，函数一定有定义域。但在简单的数学里，我们通常都不刻意去描述定义域，因为我们都假设定义域是：
- 所有 "合理" 的数值。
- 或者，在处理自然数时，定义域就是自然数。
- 依此类推。
但是在高级数学里，我们就要非常小心！
陪域与值域
陪域与值域都是和输出有关的集，但它们有细微的不同。
陪域是输出的可能值的集。陪域是函数定义的一部分。
而值域则是输出的实际值的集。
例子：我们可以定义函数 f(x)=2x 的定义域和陪域为整数（因为定义是我们建立的）。
但这个函数的值域（实际输出值）其实只是偶数。
所以陪域是整数（定义是这样），但值域是偶数。
值域是陪域的子集。
为什么需要分开为这两个集？我们有时不精确地知道值域是什么（因为函数可能很复杂或不完全清晰），但我们知道值域必然是在一个集内（例如整数或实数），所以我们可以为陪域下定义。
陪域的重要性
问题：平方根 是不是函数？
如果我们把陪域（可能输出值）定义为实数，平方根就不是函数！…… 奇怪吗？
原因是一个输入值可以有两个输出值，例如 f(9) = 3 或 -3
函数 一定要是单值的。一个输入值不能有多于一个输出值。所以 "f(9) = 3 或 −3" 就不行了！
但是若我们把陪域定义为非负实数，平方根就是函数了。
√实际上，平方根符号（√x）的意思一定是主（正）平方根，所以√x 是个函数，因为陪域的定义是正确的。
因此，陪域的定义可以决定一个关系是否函数。
记法
数学家喜欢以简单的符号来代替冗赘的文字，描述定义域和陪域也一样。
这是其中一个简单的数学语言描述：
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这个的意思是：函数 "f" 的定义域是 "N"（自然数），而陪域也是 "N"。 |
or  |
这两个的意思是：函数 "f" 的输入是 "x"，而返回 "x2" |
也可以这样写：
Dom(f) 或 Dom f 的意思是："函数 f 的定义域"
Ran(f) or Ran f 的意思是： "函数 f 的值域"
怎样具体描述定义域和值域
去 合建构式符号 学习怎样具体描述定义域和值域.