定积分

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积分

积分 可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。我们时常用积分来求函数曲线下面的面积。像这样:

  积分面积

我们可以把曲线下面的面积切成一片片,当这些片的宽度趋近零时,它们面积的和便是曲线下面的面积:

也有 积分法则 来帮我们求答案。

  积分面积 dx

记法

"积分" 的符号像英语字母 "S"
(源自英语 "Sum"(总和)):

  积分记法

把要求积分的函数(叫被积函数)放在积分符号后面,

最后放 dx 来代表积分的方向是 x(片沿 x 的宽度趋近零)。

定积分

定积分 有起点和终点:有从 a 到 b 的区间

起点和终点的值放在"S" 符号的下面和上面,像这样:

不定积分   定积分
不定积分
(没有指定值)
  积分
(从 ab

定积分是不定积分在 ab 的值的差:

定积分 y=2x 从 1 到 2 图

例子:

2x dx 从 1 到 2 的定积分

定积分 2x dx 从 1 到 2

 

不定积分 是:2x dx = x2 + C

减:

(22 + C) − (12 + C)
22 + C − 12 − C
4 − 1 + C − C = 3

"C" 被消去…… 所以求定积分时我们可以不理 C。

答案可以直接写为:

定积分 2x dx 从 1 到 2 = 2^2 - 1^2 = 3

 

y=2x 从 1 到 2 的面积等于 3

我们可以求那个图形(梯形)的面积来检验答案:

对了,面积是 3.

(不赖!)

再看一个例子:

定积分 y=cos(x) 从 0.5 到 1 图

例子:

cos(x) dx 从 0.5 到 1.0 的定积分:

定积分 cos(x) dx 从 0.5 到 1

(注意:x 的单位一定要是 弧度

 

不定积分是:cos(x) dx = sin(x) + C

C 可以不理(如上):

定积分 cos(x) dx 从 0.5 到 1   = sin(1) − sin(0.5)
    = 0.841…… − 0.479……
    = 0.362……

现在我们用以下的例子来表明一个论点:

定积分 y=sin(x) 从 0 到 1 graph

例子:

sin(x) dx 从 0 到 1 的定积分:

定积分 sin(x) dx 从 0 到 1

 

不定积分是:sin(x) dx = −cos(x) + C

起点是 0,那么我们可不可以求 x=1 的值为面积?

−cos(1) = −0.540……

什么?在 x=1 的面积是负数?不,我们一定要减去积分在 x=0 的值,我们不可以假设它是零。

正确的做法是求两个值的差(C 会消去,所以不用写下来):

定积分 sin(x) dx 从 0 到 1   = −cos(1) − (−cos(0))
    = −0.540……− (−1)
    = 0.460……

像样多了!

但若曲线是在轴的下面,便真的可以有负的面积:

定积分 y=cos(x) 从 1 到 3

例子:

cos(x) dx 从 1 到 3 的定积分:

定积分 cos(x) dx 从 1 到 3

注意曲线有正的部分,也有负的部分。
定积分是净面积的值。

 

不定积分是:cos(x) dx = sin(x) + C

计算:

定积分 cos(x) dx 从 1 到 3   = sin(3) − sin(1)
    = 0.141…… − 0.841……
    = −0.700……

试试用不同的起点和终点来求 cos(x) 的定积分,来更加了解有正值和负值的函数的定积分。

可是,有时我们需要 实际面积 (不减去负的部分):

 y=cos(x) 从 1 到 3 的面积 正值 上面和下面

例子:从 x = 1 到 x = 3,y = cos(x) 和 x轴 之间的面积是多少?

这和上面的例子差不多,不过面积是个正数 (想象你需要为它涂色)。

我们要把两个部分分开来做:

曲线在 x = π/2 经过 x轴,所以:

    π/2
1
cos(x) dx = sin(π/2) − sin(1)
      = 1 − 0.841……
= 0.159……
    3
π/2
cos(x) dx = sin(3) − sin(π/2)
      = 0.141... − 1
  = −0.859……

最后一个是负值,但我们要正值,所以:

总面积 = 0.159…… + 0.859…… = 1.018……

答案和上面的例子相差很大。

连续

求积分的函数在 ab 之间一定要是 连续 的:没有缺口、间隙或垂直渐近线(函数向上或下趋向无穷大)。

非连续渐近线

例子:

ab 之间的垂直渐近线对定积分有影响。

属性

倒转区间

定积分负属性

把区间倒转后,定积分是原来定积分的负值。

定积分 a 到 b = b 到 a 的负值

 

零长度的区间

定积分面积零

若起点等于终点,定积分的值是零:

定积分 a 到 a = 0

 

区间相加

面积 a 到 b = a 到 c 加 c 到 b

我们也可以把两个区间的定积分相加:

定积分 a 到 b = a 到 c 加 c 到o b

总结

ab 的定积分是用在 b 的不定积分减去在 a 的不定积分。