积分入门
积分是把片相加来求整体。
积分可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。要了解积分,最简单是从求 函数曲线下面的面积开始。像这样:
y = f(x) 下面的面积是多少?
片
我们可以求函数在几点的值,然后把宽度为Δx的片的面积加起来(但答案不会很精确): |
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我们可以使 Δx 非常小,然后 把很多片的面积加起来(答案比上面的好一点):
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当片的 宽度趋近零时,答案也趋近正确的面积。 我们用 dx 来代表趋近零的宽度 Δx。 |
有很多块片要相加!
可是,我们不需要做加法,有个 "捷径"。因为……
…… 求积分与求导数是相反的。
(所以你需要先了解 导数!)
如下:
例子:2x 的积分是什么?
我们知道 x2 的导数是 2x ……
…… 所以 2x 的积分是 x2
下面有更多例子。
记法
"积分" 的符号像英语字母 "S" |
把要求积分的函数(叫被积函数)放在积分符号后面,
最后放 dx 来代表积分的方向是 x(片沿 x 的宽度趋近零)。
我们这样写答案:
加 C
答案我们已经写了 x2,但为什么要加个 + C?
这个叫 "积分常数"。我们需要把它写上,因为有很多函数的导数都是 2x:
x2+4 的导数是 2x,x2+99 的导数也是 2x,…… !因为常数的导数是零。
当我们把计算 倒转 来求积分时,我们只知道 2x,但其实答案可以有任何一个常数。
所以我们需要在答案后面加上 + C。
水龙头和水箱
积分就像用水龙头向水箱注水。
输入(积分前)是龙头的流速。
把水流积分(把水流一小点一小点地加起来)的结果是水箱里的水的体积。
想象流速从 0 开始,逐渐增大(可能有个机器控制着水龙头)。
刘率越来越大,注水也越来越快。
如果流速是 2x,水箱注满的速度是 x2。
我们把流速积分可以得到体积。
例子:3 分钟后(x=3)(假设流速的单位是升每分钟):
- 流速是 2x = 2×3 = 6 升每分钟,
- 体积达到 x2 = 32 = 9 升。
我们也可以反过来做:
想象你不知道流速。
你只知道体积以 x2 的速度增加。
我们可以反过来做(用导数来求坡度),而得到流速为 2x。
例子:2 分钟后,体积的坡度是 4,意思是它以每分种 4 升的速度增大(=流速)。同样,在 3 分钟时,坡度是 6,等等。
所以积分和导数是相反的。 |
我们可以这样写下来:
流速 2x 的积分是水的体积: |
∫2x dx = x2 + C | |
体积增大的坡度 x2+C 是流速: |
(x2 + C) = 2x |
这例子也可以解释上面讲的常数 "C"……可能水箱里本来已经有一点水!
- 流速即注水的速度还是一样
- 体积增大可以用来求流速。
所以我们一定需要加上 "+ C"。
其他函数
详细分析 y=2x 后,我们现在来看看其他函数。
如果我们已经知道函数是另一个函数的导数,我们便已知道答案(因为积分和导数是相反的)。可是……不要忘了加 C。
其实很多这种 "倒转" 都已经做好了(去看 积分法则)。
懂得合适需要用积分法则是熟悉积分运算的重点.
所以……好好学习积分法则,并且做很多练习。
学好积分法则。练习! 练习! 练习!
(下面有练习题)
定积分与不定积分
我们上面做的都是不定积分。
定积分 有下限和上限的值(写在 "S" 符号的下面和上面):
不定积分 | 定积分 |
去看看 定积分 来了解更多。