积分入门

积分是把片相加来求整体。

积分可以用来求面积、体积、中点和很多其他有用的东西。要了解积分,最简单是从求 函数曲线下面的面积开始。像这样:

积分面积
y = f(x) 下面的面积是多少?

我们可以求函数在几点的值,然后把宽度为Δx的片的面积加起来(但答案不会很精确):

  积分面积大deltax
     

我们可以使 Δx 非常小,然后 把很多片的面积加起来(答案比上面的好一点):

 

  积分面积小deltax
     

当片的 宽度趋近零时,答案也趋近正确的面积。

我们用 dx 来代表趋近零的宽度 Δx

  积分面积 dx

有很多块片要相加!

可是,我们不需要做加法,有个 "捷径"。因为……

…… 求积分与求导数是相反的。

(所以你需要先了解 导数!)

如下:

例子:2x 的积分是什么?

积分与导数

 

我们知道 x2 的导数是 2x ……

 

…… 所以 2x 的积分是 x2

下面有更多例子。

记法

"积分" 的符号像英语字母 "S"
(源自英语 "Sum"(总和)):

  integral notation

把要求积分的函数(叫被积函数)放在积分符号后面,

最后放 dx 来代表积分的方向是 x(片沿 x 的宽度趋近零)。

我们这样写答案:

2x dx = x^2 + C 的积分

加 C

答案我们已经写了 x2,但为什么要加个 + C

这个叫 "积分常数"。我们需要把它写上,因为有很多函数的导数都是 2x

很多积分与一个导数

x2+4 的导数是 2xx2+99 的导数也是 2x,…… !因为常数的导数是零。

当我们把计算 倒转 来求积分时,我们只知道 2x,但其实答案可以有任何一个常数。

所以我们需要在答案后面加上 + C

 

水龙头和水箱

积分水龙头和水箱

积分就像用水龙头向水箱注水。

输入(积分前)是龙头的流速

把水流积分(把水流一小点一小点地加起来)的结果是水箱里的水的体积

 

想象流速从 0 开始,逐渐增大(可能有个机器控制着水龙头)。

积分水龙头和水箱图

刘率越来越大,注水也越来越快。

如果流速是 2x,水箱注满的速度是 x2

我们把流速积分可以得到体积。

例子:3 分钟后(x=3)(假设流速的单位是升每分钟):

 

我们也可以反过来做:

积分水龙头和水箱图

想象你不知道流速。
你只知道体积以 x2 的速度增加。

我们可以反过来做(用导数来求坡度),而得到流速为 2x

例子:2 分钟后,体积的坡度是 4,意思是它以每分种 4 升的速度增大(=流速)。同样,在 3 分钟时,坡度是 6,等等。

积分与导数  

所以积分和导数相反的。

我们可以这样写下来:

流速 2x 的积分是水的体积:

  2x dx = x2 + C

体积增大的坡度 x2+C 是流速:

  d/dx(x2 + C) = 2x

 

积分水龙头和水箱图

这例子也可以解释上面讲的常数 "C"……可能水箱里本来已经有一点水!

所以我们一定需要加上 "+ C"。

其他函数

详细分析 y=2x 后,我们现在来看看其他函数。

如果我们已经知道函数是另一个函数的导数,我们便已知道答案(因为积分和导数是相反的)。可是……不要忘了加 C。

例子:cos(x) dx 是什么?

积分与倒数,cos(x) vs sin(x)

导数法则表 里,sin(x) 的导数是 cos(x),所以:

cos(x) dx = sin(x) + C

其实很多这种 "倒转" 都已经做好了(去看 积分法则)。

例子:x3 dx 是什么?

积分法则 的 "幂次方法则" 说明:

xn dx = xn+1/(n+1) + C

用这个法则,设 n=3:

x3 dx = x4 /4 + C

懂得合适需要用积分法则是熟悉积分运算的重点.

所以……好好学习积分法则,并且做很多练习

学好积分法则。练习! 练习! 练习!
(下面有练习题)

定积分与不定积分

我们上面做的都是不定积分

定积分 有下限和上限的值(写在 "S" 符号的下面和上面):

不定积分   定积分
不定积分   积分

去看看 定积分 来了解更多。