微积分入门

微积分完全是关于改变的学问。

车速表

小山和小李开车去出旅行……但车速表坏了。

小李:

 

"小山!我们现在开得多快?"

小山:

 

"等一等……"

"上一分钟我们走了 1.2 千米,所以车速是:"

1.2 千米m/分钟 × 一小时 60 分钟 = 每小时 72 千米

小李:

  "不,小山! 我不是问上一分钟或上一秒的平均速度,我想知道我们现在的速度。"

小山:

 

"那么我们在这里测量……这个路标……来!"

路

"好了,我们在路标待了零秒,走了……零米!"

速度是 0米 / 0秒 = 0/0 = 我不知道是多少

"小山,我没招了!我要知道在某个时间里走的某个距离,才能计算速度。但你说时间是零?不可能!"

 

真奇怪……乍看,计算车速好像是很容易的事,但其实并不简单。

就算车速表没坏,它也只是给我们一个在很短的时间里的平均车速。

那……可不可以求一个相当准确的近似值?

我们这个故事还没结束呢!

到达目的地,小山和小李终于可以下车了。憋在车里几个小时后,小山想伸展一下筋骨。他是个跑酷高手,所以他要做一个高难度动作:

跳 t=1  

小山会从 20m 高的房屋上跳下来。

小李是个摄影师,他问:

"起跳一秒后你会下落得多快?"

小山用这个简单的公式来计算已经落下的距离

d = 5t2

(注意:这个公式是从物体在 引力影响下,下落距离的公式:d = ½gt2 简化而成的。)

例子:起跳后 1秒小山下落了

d = 5t2 = 5 × 12 = 5 m

那是多快?速度是距离除以时间:

速度 = 距离
时间

1秒后:

速度 = 5米 = 5米每秒
1秒

"可是,"小李说,"这也是从你起跳开始的平均速度,…… 我想知道的是刚好在 1秒时的速度,好让我准备好我的相机。"

 

跳从 t=1 到  t=1  

好 …… 在起跳后正好 1秒时的速度是:

速度 = 5 − 5米 = 0米 = ????
1 − 1秒 0秒s

小山又没招了。

我们来想想 …… 我们怎样计算在"一刹那"的速度?

距离是多少?时差是多少?

两者都是,根本不可能计算!

小山有个想法 …… 用很短的时差,短到对答案没什么影响

小山不会去求这个时差的值,他只给它一个名字:"Δt" (叫 "delta t")。

接下来,小山算出从 tt+Δt 的时间里他落下的距离

1秒 ,小山落下了

d = 5t2 = 5 × (1)2 = 5 m

 

(1+Δt) 秒,小山落下了

d = 5t2 = 5 × (1+Δt)2 m

 

把这个展开 (1+Δt)2

(1+Δt)2 = (1+Δt)(1+Δt)
  = 1 + 2Δt + (Δt)2

 

结果是:

d = 5 × (1+2Δt+(Δt)2) m
  = 5 + 10Δt + 5(Δt)2 m

 

跳从 t=1 到  t=1 + delta t

 

所以在 1秒(1+Δt) 秒这段时间里,他落下的距离是:

d 的改变 = (5 + 10Δt + 5(Δt)2) − 5米
  = 10Δt + 5(Δt)2

 

现在用这个距离除以时间来求速度:

速率 = 10Δt +5(Δt)2 Δt s
  = 10 + 5Δt 米每秒

 

所以速度是 10 + 5Δt m/s,小山想 …… "这 Δt …… 要越短越好 …… 所以就干脆把它变成不就行了吗?这样结果便是:

速度 = 10米每秒

 

厉害!小山得到答案了!

 

小山:"我下跌的速度正好是 10 m/s"

小李:"你刚才不是说你不能计算这个速度吗?"

小山:"刚才我还没用微积分!"

 

的确,他是用了微积分。

小石头

微积分的英语,"Calculus" 源自拉丁语,意思是 "小石头",
因为它是从分析小的部分来了解大的整体。

微分 把整体分拆为小部分来求它怎样改变。

积分 把小部分连接(积)在一起来求整体有多大。

像乘法和除法,微分和积分是互为相反的。

 

小山用 微分 把时间和距离切成小块来求精确的答案。

 

小山的算法是不是个巧合?可以用来解其他的问题吗?

我们用这个函数 y = x3 来试试

这个例子和上面的很相似,但只不过是个图的坡度,并不需要从屋顶跳下来!

例子:函数 y = x3 在 x=1 的坡度是多少?

在 x = 1, y = 13 = 1
在 x = (1+Δx), y = (1+Δx)3


展开 (1+Δx)3 为 1 + 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3,得到:

y = 1 + 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3

 

y 从 x = 1 到 x = 1+Δx 的差值是:

y 的改变 = 1 + 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3 − 1
  = 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3

 

我们可以求坡度了:

坡度 = 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3 Δx
  = 3 + 3Δx + (Δx)2

 

和上面一样,Δx 缩小到零,剩下:

坡度 = 3

这是 y = x3 的图

 

坡度持续地改变,但在 (1,1) 这点,我们可以画一条切线,

然后算出在那一点的坡度是等于 3的。

(你可以数数格子来看看!)

  图 x^3 在 (1,1) 的坡度

该你了:在(2,8) 这点的坡度是多少?

自己来做看看!

函数的坡度 这页,输入 "x^3" 这公式,然后尝试去求在 (1,1) 的坡度。

持续把图放大来看看坡度趋近哪个值。

结论

微积分是关于改变的。

微分把整体分拆为小部分来求它怎样改变。

积分把小部分连接(积)在一起来求整体有多大。