微积分入门

微积分完全是关于改变的学问。

车速表

小山和小李开车去出旅行……但车速表坏了。

小李：

  

"小山！我们现在开得多快？"

小山:

  

"等一等……"

"上一分钟我们走了 1.2 千米，所以车速是："

1.2 千米m/分钟 × 一小时 60 分钟 = 每小时 72 千米

小李:

   "不，小山! 我不是问上一分钟或上一秒的平均速度，我想知道我们现在的速度。"

小山:

  

"那么我们在这里测量……这个路标……来！"

路

"好了，我们在路标待了零秒，走了……零米！"

速度是 0米 / 0秒 = 0/0 = 我不知道是多少！

"小山，我没招了！我要知道在某个时间里走的某个距离，才能计算速度。但你说时间是零？不可能！"

 

真奇怪……乍看，计算车速好像是很容易的事，但其实并不简单。

就算车速表没坏，它也只是给我们一个在很短的时间里的平均车速。

那……可不可以求一个相当准确的近似值？

我们这个故事还没结束呢！

到达目的地，小山和小李终于可以下车了。憋在车里几个小时后，小山想伸展一下筋骨。他是个跑酷高手，所以他要做一个高难度动作：

跳 t=1  

小山会从 20m 高的房屋上跳下来。

小李是个摄影师，他问：

"起跳一秒后你会下落得多快？"

小山用这个简单的公式来计算已经落下的距离：

d = 5t2

（注意：这个公式是从物体在 引力影响下，下落距离的公式：d = ½gt2 简化而成的。）

例子：起跳后 1秒小山下落了

d = 5t2 = 5 × 12 = 5 m

那是多快？速度是距离除以时间：

速度 = 距离
时间

1秒后：

速度 = 5米 = 5米每秒
1秒

"可是，"小李说，"这也是从你起跳开始的平均速度，…… 我想知道的是刚好在 1秒时的速度，好让我准备好我的相机。"

 

跳从 t=1 到 t=1  

好 …… 在起跳后正好 1秒时的速度是：

速度 = 5 − 5米 = 0米 = ????
1 − 1秒 0秒s

小山又没招了。

我们来想想 …… 我们怎样计算在"一刹那"的速度？

距离是多少？时差是多少？

两者都是零，根本不可能计算！

小山有个想法 …… 用很短的时差，短到对答案没什么影响。

小山不会去求这个时差的值，他只给它一个名字："Δt" （叫 "delta t"）。

接下来，小山算出从 t 到 t+Δt 的时间里他落下的距离

在1秒 ，小山落下了

d = 5t2 = 5 × (1)2 = 5 m

 

在(1+Δt) 秒，小山落下了

d = 5t2 = 5 × (1+Δt)2 m

 

把这个展开 (1+Δt)2：

(1+Δt)2 = (1+Δt)(1+Δt)
  = 1 + 2Δt + (Δt)2

 

结果是：

d = 5 × (1+2Δt+(Δt)2) m
  = 5 + 10Δt + 5(Δt)2 m

 

跳从 t=1 到 t=1 + delta t

 

所以在 1秒 到 (1+Δt) 秒这段时间里，他落下的距离是：

d 的改变 = (5 + 10Δt + 5(Δt)2) − 5米
  = 10Δt + 5(Δt)2米

 

现在用这个距离除以时间来求速度：

速率 = 10Δt +5(Δt)2米 Δt s
  = 10 + 5Δt 米每秒

 

所以速度是 10 + 5Δt m/s，小山想 …… "这 Δt …… 要越短越好 …… 所以就干脆把它变成零不就行了吗？这样结果便是：

速度 = 10米每秒

 

厉害！小山得到答案了！

 

小山："我下跌的速度正好是 10 m/s"

小李："你刚才不是说你不能计算这个速度吗？"

小山："刚才我还没用微积分！"

 

的确，他是用了微积分。

小石头

微积分的英语，"Calculus" 源自拉丁语，意思是 "小石头"，
因为它是从分析小的部分来了解大的整体。

微分 把整体分拆为小部分来求它怎样改变。

积分 把小部分连接（积）在一起来求整体有多大。

像乘法和除法，微分和积分是互为相反的。

 

小山用 微分 把时间和距离切成小块来求精确的答案。

 

小山的算法是不是个巧合？可以用来解其他的问题吗？

我们用这个函数 y = x3 来试试

这个例子和上面的很相似，但只不过是个图的坡度，并不需要从屋顶跳下来！

例子：函数 y = x3 在 x=1 的坡度是多少？

在 x = 1， y = 13 = 1
在 x = (1+Δx), y = (1+Δx)3


展开 (1+Δx)3 为 1 + 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3，得到：

y = 1 + 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3

 

y 从 x = 1 到 x = 1+Δx 的差值是：

y 的改变 = 1 + 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3 − 1
  = 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3

 

我们可以求坡度了：

坡度 = 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3 Δx
  = 3 + 3Δx + (Δx)2

 

和上面一样，Δx 缩小到零，剩下：

坡度 = 3

这是 y = x3 的图

 

坡度持续地改变，但在 (1,1) 这点，我们可以画一条切线，

然后算出在那一点的坡度是等于 3的。

（你可以数数格子来看看！）

   图 x^3 在 (1,1) 的坡度

该你了：在(2,8) 这点的坡度是多少？

自己来做看看！

去 函数的坡度 这页，输入 "x^3" 这公式，然后尝试去求在 (1,1) 的坡度。

持续把图放大来看看坡度趋近哪个值。

结论

微积分是关于改变的。

微分把整体分拆为小部分来求它怎样改变。

积分把小部分连接（积）在一起来求整体有多大。

 

 
函数的坡度 微积分索引