微积分入门
微积分完全是关于改变的学问。
小山和小李开车去出旅行……但车速表坏了。 |
小李: |
"小山!我们现在开得多快?" |
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小山: |
"等一等……" "上一分钟我们走了 1.2 千米,所以车速是:" 1.2 千米m/分钟 × 一小时 60 分钟 = 每小时 72 千米 |
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小李: |
"不,小山! 我不是问上一分钟或上一秒的平均速度,我想知道我们现在的速度。" | |
小山: |
"那么我们在这里测量……这个路标……来!" "好了,我们在路标待了零秒,走了……零米!" 速度是 0米 / 0秒 = 0/0 = 我不知道是多少! "小山,我没招了!我要知道在某个时间里走的某个距离,才能计算速度。但你说时间是零?不可能!" |
真奇怪……乍看,计算车速好像是很容易的事,但其实并不简单。
就算车速表没坏,它也只是给我们一个在很短的时间里的平均车速。
那……可不可以求一个相当准确的近似值?
我们这个故事还没结束呢!
到达目的地,小山和小李终于可以下车了。憋在车里几个小时后,小山想伸展一下筋骨。他是个跑酷高手,所以他要做一个高难度动作:
小山会从 20m 高的房屋上跳下来。小李是个摄影师,他问:"起跳一秒后你会下落得多快?" |
小山用这个简单的公式来计算已经落下的距离:
d = 5t2
- d = 跌了的距离(米)
- t = 起跳后的时间(秒)
(注意:这个公式是从物体在 引力影响下,下落距离的公式:d = ½gt2 简化而成的。)
例子:起跳后 1秒小山下落了
d = 5t2 = 5 × 12 = 5 m
那是多快?速度是距离除以时间:
速度 = | 距离 |
时间 |
1秒后:
速度 = | 5米 | = 5米每秒 |
1秒 |
"可是,"小李说,"这也是从你起跳开始的平均速度,…… 我想知道的是刚好在 1秒时的速度,好让我准备好我的相机。"
好 …… 在起跳后正好 1秒时的速度是:
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小山又没招了。
我们来想想 …… 我们怎样计算在"一刹那"的速度?
距离是多少?时差是多少?
两者都是零,根本不可能计算!
小山有个想法 …… 用很短的时差,短到对答案没什么影响。
小山不会去求这个时差的值,他只给它一个名字:"Δt" (叫 "delta t")。
接下来,小山算出从 t 到 t+Δt 的时间里他落下的距离
在1秒 ,小山落下了
d = 5t2 = 5 × (1)2 = 5 m
在(1+Δt) 秒,小山落下了
d = 5t2 = 5 × (1+Δt)2 m
把这个展开 (1+Δt)2:
(1+Δt)2 | = (1+Δt)(1+Δt) |
= 1 + 2Δt + (Δt)2 |
结果是:
d | = 5 × (1+2Δt+(Δt)2) m |
= 5 + 10Δt + 5(Δt)2 m |
所以在 1秒 到 (1+Δt) 秒这段时间里,他落下的距离是:
d 的改变 | = (5 + 10Δt + 5(Δt)2) − 5米 |
= 10Δt + 5(Δt)2米 |
现在用这个距离除以时间来求速度:
速率 | = 10Δt +5(Δt)2米 Δt s |
= 10 + 5Δt 米每秒 |
所以速度是 10 + 5Δt m/s,小山想 …… "这 Δt …… 要越短越好 …… 所以就干脆把它变成零不就行了吗?这样结果便是:
速度 = 10米每秒
厉害!小山得到答案了!
小山:"我下跌的速度正好是 10 m/s"
小李:"你刚才不是说你不能计算这个速度吗?"
小山:"刚才我还没用微积分!"
的确,他是用了微积分。
微积分的英语,"Calculus" 源自拉丁语,意思是 "小石头",
因为它是从分析小的部分来了解大的整体。
微分 把整体分拆为小部分来求它怎样改变。
积分 把小部分连接(积)在一起来求整体有多大。
像乘法和除法,微分和积分是互为相反的。
小山用 微分 把时间和距离切成小块来求精确的答案。
小山的算法是不是个巧合?可以用来解其他的问题吗?
我们用这个函数 y = x3 来试试
这个例子和上面的很相似,但只不过是个图的坡度,并不需要从屋顶跳下来!
例子:函数 y = x3 在 x=1 的坡度是多少?
在 x = 1, y = 13 = 1
在 x = (1+Δx), y = (1+Δx)3
展开 (1+Δx)3 为 1 + 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3,得到:
y = 1 + 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3
y 从 x = 1 到 x = 1+Δx 的差值是:
y 的改变 | = 1 + 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3 − 1 |
= 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3 |
我们可以求坡度了:
坡度 = | 3Δx + 3(Δx)2 + (Δx)3 Δx |
= 3 + 3Δx + (Δx)2 |
和上面一样,Δx 缩小到零,剩下:
坡度 = 3
这是 y = x3 的图
坡度持续地改变,但在 (1,1) 这点,我们可以画一条切线, 然后算出在那一点的坡度是等于 3的。 (你可以数数格子来看看!) |
该你了:在(2,8) 这点的坡度是多少?
自己来做看看!
去 函数的坡度 这页,输入 "x^3" 这公式,然后尝试去求在 (1,1) 的坡度。
持续把图放大来看看坡度趋近哪个值。
结论
微积分是关于改变的。
微分把整体分拆为小部分来求它怎样改变。
- 你可以在 导数入门 学习更多
积分把小部分连接(积)在一起来求整体有多大。
- 你可以在 积分入门 学习更多