从分组频数
求平均、中位数和众数

用三个例子来说明

赛跑与顽皮小狗

我们从原始数据开始（还没分组的）……

求 平均值，大山把所有的数加起来，然后除以数的个数：

平均 =	59+65+61+62+53+55+60+70+64+56+58+58+62+62+68+65+56+59+68+61+67
	21
=	61.38095...

 

求 中位数，大山把数顺序排列，然后找在正中间的数。

中位数是第 11个数：

53, 55, 56, 56, 58, 58, 59, 59, 60, 61, 61, 62, 62, 62, 64, 65, 65, 67, 68, 68, 70

中位数 = 61 

求 众数，大山把数顺序排列，然后计算每一个数出现的次数。众数是出现最多的数（可以有多于一个众数）：

53、55、56、56、58、58、59、59、60、61、61、62、62、62、64、65、65、67、68、68、70

62 出现了三次，比其他的数多，所以 众数 = 62

分组频数表

接下来，大山做了一个 分组频数表：

2个赛跑者的时间是在 51 和 55秒之间，7个的时间实在 56 和 60秒之间……

糟了！

……我们可以帮大山从分组频数表去求平均、中位数和众数吗？

答案是……不能。至少不能求精确的值。不过，我们可以求近似值。

哟个分组数据求平均值

剩下的数据只有：

我们可以用中点来估计平均。

我们用中点来做个表：

我们的假设是："2个人跑了 53秒、7个人跑了 58秒、8个人跑了 63秒、3个人跑了 68秒"。换句话说，我们想象数据是这样的：

53、53、58、58、58、58、58、58、58、63、63、63、63、63、63、63、63、68、68、68、68

然后我们把全部的数加起来，再除以 21（总共有 21个数）。最快的做法是把每个中点乘以相对的频数：

平均赛跑时间的近似值是：

平均近似值 =	1288	= 61.333……
	21

与用原始数据求得的精确答案很接近。

从分组数据求中位数

我们再看看数据：

中位数是在正中的数，在这里是第 11个数，在 61 - 65 的组里：

我们可以说："中位组是 61 - 65"

但如果我们想估计一个中位数，我们要仔细看看 61 - 65 的组。

在 60.5 有 9个赛跑者，在下一个界限 65.5 有 17个赛跑者。在中间画一条直线，我们便可以看到 n/2 个赛跑者的中位数是：

可以用这个简单公式来计算：

中位数近似值 = L +	(n/2) − B	× w
	G

其中：

• L 是包含中位数的组的下限
• n 是数据的个数
• B 是中位组前面所有组的累积频数
• G 是中位组的频数
• w 是组距

在这个例子里：

• L = 60.5
• n = 21
• B = 2 + 7 = 9
• G = 8
• w = 5

中位数近似值	= 60.5 + (21/2) − 9 8 × 5
	= 60.5 + 0.9375
	= 61.4375

用分组数据求众数

再来看数据：

密集群组（最大频数的组）是 61 - 65

我们说："密集群组是 61 - 65"

但真正的众数可能根本不在这个组里！也可能有多于一个众数。没有原始数据我们不会知道。

可是，我们可以用这个公式来估计众数：

众数近似值 = L +	fm − fm-1	× w
	(fm − fm-1) + (fm − fm+1)

其中：

• L 是密集群组的下限
• f_m-1 是密集群组之前一个组的频数
• f_m 是密集群组的频数
• f_m+1 是密集群组之后一个组的频数
• w 是组距

在这个例子里：

• L = 60.5
• f_m-1 = 7
• f_m = 8
• f_m+1 = 4
• w = 5

众数近似值	= 60.5 +	8 − 7	× 5
		(8 − 7) + (8 − 4)
	= 60.5 + (1/5) × 5
	= 61.5

 

 

这就是用分组数据去求平均、中位数和众数的近似值的做法。

我们现再来看两个例子，也多做一些练习！

小胡萝卜例子

 

例子：你在特种泥土里种了五十个小胡萝卜。你把它们挖出来，量度长度（到最近的 mm）， 然后把结果分组：

 

平均

平均近似值 =	8530	= 170.6 mm
	50

 

中位数

中位数是第 25 和 26个长度的平均，所以是在 170 - 174 的组里：

• L = 169.5 （170 - 174 组的下限）
• n = 50
• B = 5 + 2 + 6 + 8 = 21
• G = 9
• w = 5

中位数近似值	= 169.5 +	(50/2) − 21	× 5
		9
	= 169.5 + 2.22……
	= 171.7 mm（到一个小数位）

 

众数

密集群组是最大频数的组，就是 175 - 179 的组：

• L = 174.5 （175 - 179 组的下限）
• f_m-1 = 9
• f_m = 11
• f_m+1 = 6
• w = 5

众数近似值	= 174.5 +	11 − 9	× 5
		(11 − 9) + (11 − 6)
	= 174.5 + 1.42...
	= 175.9 mm（到一个小数位）

年龄例子

年龄是个特别的频数。

如果我们说："莎莎是 17岁"，在她 18岁生日前，她一直都是 17岁。
她的年纪可能已经是 17年 364天，但我们仍然叫她 "17岁"。

因为这样，中点和组距都会有点改变。

 

例子：在一个热带岛屿上的 112个人的年龄分成以下的组别：

在 0 - 9 组里的小孩可能已经差不多 10岁，所以这个组的中点是 5，而 不是 4.5

中点是 5、15、25、35、45、55、65、75 和 85

同样，在求中位数和众数时，我们也会以组距为 0、10、20 等等

平均

平均近似值 =	3360	= 30
	112

 

中位数

中位数是第 56 和 57个组的人的平均年龄，所以是在 20 - 29 的组里：

• L = 20 （包含中位数的组的下限）
• n = 112
• B = 20 + 21 = 41
• G = 23
• w = 10

中位数近似值	= 20 +	(112/2) − 41	× 10
		23
	= 20 + 6.52……
	= 26.5（到一个小数位）

 

众数

密集群组是最大频数的组，就是 20 - 29 的组：

• L = 20 （密集群组的下限）
• f_m-1 = 21
• f_m = 23
• f_m+1 = 16
• w = 10

众数近似值	= 20 +	23 − 21	× 10
		(23 − 21) + (23 − 16)
	= 20 + 2.22……
	= 22.2（到一个小数位）

总结