互斥事件

互斥：不可以同时发生。

例子：

• 左转和右转是互斥的（你不能两者同时做）
• 抛硬币：正面和反面是互斥的
• 扑克牌：K和A牌是互斥的

什么不是互斥的：

• 左转和抓头可以同时发生
• K和红心，因为可以有红心K！

像这样：

概率

我们现在来学习互斥事件的概率。首先，看一个定义：

 

互斥

当两个事件（叫它们为 "A" 和 "B"）是互斥时，他们不可能一起发生：

P(A 与 B) = 0

"A 与 B 一起发生的概率等于 0（不可能）"

 

但 A 或 B 的概率是个别概率的和：

P(A 或 B) = P(A) + P(B)

"A 或 B 的概率等于 A 的概率加 B 的概率"

所以：

• P(K 与 王后) = 0
• P(K 或 王后) = (1/13) + (1/13) = 2/13

特别记法

有时我们不写 "与"，我们用这个符号：∩（这是 维恩图 里的 "交集" 符号）

同样，有时我们不写 "或"，我们用这个符号： ∪（"并集" 符号）

所以我们也可以这样写：

• P(K ∩ 王后) = 0
• P(K ∪ 王后) = (1/13) + (1/13) = 2/13

怎样去记

帮你记忆，这样想：

不互斥

我们现在来看不互斥的事件

例子：红心和K

红心与K一起只会是红心K：

但红心 或 K是：

• 全部红心牌（有13张）
• 全部K（有4张）

但我们数了两次红心K！

所以我们需要减去重复的 "与" 的部分：

16张牌 = 13 红心 + 4 K − 重复的红心K

去数数看看！

写成公式是这样：

P(A 或 B) = P(A) + P(B) − P(A 与 B)

"A 或 B 的概率等于 A 的概率 加 B 的概率
减 A 与 B 的概率"

这是同一个公式，用 ∪ 和 ∩ 来写：

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

最后一个例子

16个人学习法语，21个人学习西班牙语，总共有30个人。解：概率！

显而易见，事件是不互斥的（你可以两个语言都学习）。

以 b 为两个语言都学习的人数：

• 只学习法语的人数是 16-b
• 只学习西班牙语的人数是 21-b

所以：

总共有 30个人，所以：

我们可以把数值填进图里：

所以概率是：

• P(法语) = 16/30
  
• P(西班牙语) = 21/30
  
• P(只学法语) = 9/30
  
• P(只学西班牙语) = 14/30
  
• P(法语 或 西班牙语) = 30/30 = 1
  
• P(法语 与 西班牙语) = 7/30

最后我们用公式来检验答案：

P(A 或 B) = P(A) + P(B) − P(A 与 B)

代入数值：

30/30 = 16/30 + 21/30 − 7/30

全对！

 

总结：

互斥

A 与 B 同时发生是不可能的：P(A 与 B) = 0
A 或 B 是 A 加 B：P(A 或 B) = P(A) + P(B)

不互斥

符号