双曲线

你是否知道太空船的轨道有时可以是条双曲线？

太空船可以利用行星的引力来改变轨道，用高速把自己推离行星，回到外太空。这个技巧叫 "引力弹弓"。

在这种情况下，太空船的轨道是一条双曲线。

（你可以去引力自由玩看看这是什么样的）

定义

双曲线是有以下属性的曲线：线上任何一点到：

• 一个定点（焦点）和
• 一条固定的直线（准线) 的距离的比是固定的。

 

这个比叫偏心率，而双曲线的偏心率永远大于 1。

双曲线是开放的曲线（无终端）。

还有！双曲线是两条分开并互为镜像的曲线：

在图上你可以看到：

• 准线 和 焦点（每边一个）
• 对称轴（穿过每个焦点，垂直于准线）
• 两个顶点（每条线最弯曲的地方）

"渐近线"（如图）不是双曲线的一部分。双曲线在向四个方向延伸到无穷远时便会趋近渐近线。

严格来说，还有双曲线里两条曲线的对称轴。

圆锥曲线 切开圆锥也可以得到双曲线。 切面要比抛物线的切面倾斜，并且就算 切面不与圆锥的轴平行，双曲线也会有两条对称的曲线。 双曲线是其中一种圆锥曲线（圆锥截面）。

方程

把双曲线放在x-y 图上（在 x轴与 y轴的正中），双曲线的方程是：

x²a² − y²b² = 1

且： 一个顶点 在（a，0），另一个在（−a，0） 渐近线是这两条直线： y = (b/a)x y = −(b/a)x 方程跟 椭圆的方程相似： x2/a2 + y2/b2 = 1（除了中间是 "−" 而不是 "+"）

偏心率

上面讲过 偏心率（通常以字母 e 表示），它表达双曲线有多 "不弯曲"（与圆有多不同）。

在这个图中：

• P 是线上一点,
• F 是焦点,
• N 是准线上的一点，而且 PN 垂直于准线。

比例 PF/PN 是双曲线的偏心率（双曲线的偏心率永远大于 1）。

还有这个公式：

e = √(a²+b²)a

"a" 和 "b" 如上图所示。

正焦弦

正焦弦是穿过焦点并与准线平行的直线。 正焦弦的长度是 2b2/a.