勾股数――高级

（你也许想去浏览关于勾股定理的内容
或者先阅读勾股数入门）

 

"勾股数"是符合以下规则的一组整数, a、b 和 c：

a² + b² = c²

三角形

若三角形的边长是 a、b 和 c，则三角形是直角三角形（去浏览勾股定理了解更多）：

注意：

• c 是 三角形最长的边，叫 "斜边"（也叫弦）
• a 和 b 是两条直角边。（短的叫勾，长的叫股）

勾股数

勾股数例子：

3, 4, 5	5, 12, 13	9, 40, 41
32 + 42 = 52	52 + 122 = 132	92 + 402 = 412
9 + 16 = 25	25 + 144 = 169	（自己试试看！）

无穷

有无穷多的勾股数。

我们可以用第一个勾股数组（3、4 和 5）来证明：

有无穷多的勾股数――欧几里得的证明

欧几里得用另一个方法来证明有无穷多的勾股数。

这个证明是基于：两个连续的数的平方的差必然是个奇数

每个奇数都等于两个连续的数的平方的差。看看这个列表：

n		n2		差
1		1
2		4		4−1 = 3
3		9		9−4 = 5
4		16		16−9 = 7
5		25		25−16 = 9
……		……		……

我们知道有无穷多的奇数，并且奇平方数是奇数的子集，而无穷大的一部分还是无穷大，所以也有无穷多的奇平方数。因此，也有无穷多的勾股数。

属性

趣事：每组勾股数：

• 全都是偶数，或者
• 是两个奇数和一个偶数。

一个勾股数组不能全是奇数，也不能是两个偶数和一个奇数。因为：

• 奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数。
• 两个偶数的和是偶数，偶数与奇数的和是奇数。

因此，若 a 和 b 都是偶数，则 c 也是偶数。同样，若 a 和 b 其中一个是奇数而另一个是偶数，c 便必然是奇数！

求勾股数

求勾股数其实很容易。

设 m 和 n 为任何不同的正整数（m < n）：

• a = n² − m²
• b = 2nm
• c = n² + m²

则 a、b 和 c 是勾股数。

前几组勾股数

这是所有 a、b、c 都小于 1,000 的勾股数

这里只列出第没有公因数的勾股数（叫素勾股数），所以（a、b、c）的倍数，例如（2a、2b、2c）和（3a、3b、3c）等等都没有列出来。

例子：（3、4、5）是勾股数。（6、8、10）也是，但不在列表里，因为它只不过是（3、4、5）乘 2.