解不等式应用题
在代数中有像以下的"不等式"问题：
小山 和 小李 在同一个足球队踢球。
上星期六小李比小山多进了3球，但他们两个人进的球总共少于9球。
小李可能进了多少球？
我们怎样去答这个问题？
一个技巧是把问题分成两个部分：
把语文转换为代数。
用代数来解。
把语文转换为代数
按以下步骤把问题从语文转为代数的语言：
- 先把问题从头到尾看一次
- 如有需要，画个草图
- 以英语字母代替每个值
- 找出合适的公式
我们也应该写下问题究竟是问什么，这会给我们一个目标！
最好是通过示例去学习，所以我们先看一个例子：
小山和小李在同一个足球队踢球。
上星期六小李比小山多进了3球，但他们两个人进的球总共少于9球。
小李可能进了多少球？
以英语字母代替每个值：
- 小李进的球为：A
- 小山进的球为：S
小李比小山多进了3球，所以：A = S + 3
他们总共进了少于9球：S + A < 9
我们需要找的答案是小李进球的可能数目：A
解：
| 开始： | S + A < 9 | |
| A = S + 3，所以可以 把 "S + 3" 代入 A： |
S + (S + 3) < 9 | |
| 简化： | 2S + 3 < 9 | |
| 每边减 3： | 2S < 9 − 3 | |
| 简化： | 2S < 6 | |
| 每边除以 2： | S < 3 |
小山进了少于3球，所以他可能进了 0、1 或 2 球。
小李比小山多进了3球，所以小李可能进了 3、4 或 5 球。
检验：
- 当 S = 0，则 A = 3， S + A = 3，3 < 9 是对的
- 当 S = 1，则 A = 4， S + A = 5，5 < 9 是对的
- 当 S = 2，则 A = 5， S + A = 7，7 < 9 是对的
- （但当 S = 3，则 A = 6， S + A = 9，9 < 9 是错的）
很多例子！
例子：8条小狗里，雌的比雄的要多。
可能有几条雌性小狗？
以字母代替每个值：
- 雌性小狗的数目：g
- 雄性小狗的数目：b
总共有 8 条小狗，所以：g + b = 8。这可以重排为
雌性小狗多于雄性小狗，所以：
我们需要知道雌性小狗的数目：g
解：
| 开始： | g > b | |
| b = 8 − g，所以我们可以 把 "8 − g" 代入 b: |
g > 8 − g | |
| 每边加 g： | g + g > 8 | |
| 简化： | 2g > 8 | |
| 每边除以 2： | g > 4 |
可能有 5、6、7 或 8 条雌性小狗。
可能有8条雌性小狗吗？这样就没有雄性小狗了。问题在这方面没讲清楚 （有时候问题是这样的）。
检验
- 当 g = 8，则 b = 0， g > b 是对的（可是，允许 b = 0 吗？）
- 当 g = 7，则 b = 1， g > b 是对的
- 当 g = 6，则 b = 2， g > b 是对的
- 当 g = 5，则 b = 3， g > b 是对的
- （但若 g = 4，则 b = 4，g > b 便是错的）
一个简单的例子：
例子：祖尔参加了一个需要骑自行车和跑的竞赛
他骑了 25千米的自行车，然后跑了 20千米。他跑的平均速度是骑自行车的平均速度的一半。
祖尔用了少于 2½ 小时完成比赛，他的平均速度是多少？
以字母代替每个值
- 平均跑速： s
- 所以骑自行车的平均速度：2s
公式：
- 速度 = 距离 / 时间
- 重排为：时间 = 距离 / 速度
我们需要知道他的平均速度：s 和 2s
比赛分成两个部分：
1. 骑自行车
- 距离 = 25 km
- 平均速度 = 2s km/h
- 故此， 时间 = 距离/平均速度 = 25/2s 小时
2. 跑
- 距离 = 20 km
- 平均速度 = s km/h
- 故此， 时间 = 距离/平均速度 = 20/s 小时
祖尔用了小于 2½ 小时来完成比赛
- 总时间 < 2½
- 25/2s + 20/s < 2½
解：
| 开始： | 25/2s + 20/s < 2½ | |
| 把所有项乘以 2s： | 25 + 40 < 5s | |
| 简化： | 65 < 5s | |
| 每边除以 5： | 13 < s | |
| 换边： | s > 13 |
所以他的平均跑速是大于 13 km/h，而平均骑自行车速度是大于 26 km/h
在以下的例子里我们同时处理两个不等式：
例子：把球垂直向上抛，球的速度，v m/s，的公式是 v = 20 – 10t，其中 t 是时间（秒）。
在什么时间球的速度是在 10 m/s 和 15 m/s 之间？
分配字母：
- 速度（m/s）：v
- 时间（秒）：t
公式：
- v = 20 – 10t
我们需要知道当 v 是在 5 和 15 m/s 之间的时间 t：
| 开始： | 10 < 20 − 10t < 15 | |
| 全部减 20： | 10 − 20 < 20 − 10t − 20 < 15 − 20 | |
| 简化： | −10 < −10t < −5 | |
| 除以 10： | −1 < −t < −0.5 | |
| 改变正负号，同时倒转不等号： | 1 > t > 0.5 | |
把较小的数放在前面比较整齐，所以： |
||
| 倒过来： | 0.5 < t < 1 | |
故此，在抛球后的 0.5 和 1 秒之间，球的速度是在 10 m/s 和 15 m/s 之间。
最后我们来看看一个比较难的例子：
例子：一个长方形的房间可以放 7 张面积 1 平方米的桌子，房间的周长是 16米。
房间的长度和宽度可能是多少？
画个草图：我们不知道桌子的尺寸，同时它们也不一定刚好完全覆盖整个房间！
分配字母：
- 房间的长度：L
- 房间的宽度：W
周长的公式是 2(W + L)，我们知道周长是 16 m
- 2(W + L) = 16
- W + L = 8
- L = 8 − W
长方形的面积是 长乘宽：面积 = W × L
面积一定是大于 7：
- W × L ≥ 7
我们需要知道 W 和 L 的 可能值
解：
| 开始： | W × L ≥ 7 | |
| 代入 L = 8 − W: | W × (8 − W) ≥ 7 | |
| 展开： | 8W − W2 ≥ 7 | |
| 把所有的项移到左边： | W2 − 8W + 7 ≤ 0 |
这是个二次不等式。我们可以用很多方法来解它。在这里我们来用 配方 的方法：
| 把数字项 −7 移到右边： | W2 − 8W ≤ −7 | |
| 左边配方，把相同的值加到右边以保持平衡： | W2 − 8W + 16 ≤ −7 + 16 | |
| 简化： | (W − 4)2 ≤ 9 | |
| 每边取平方根： | −3 ≤ W − 4 ≤ 3 | |
对了，有两个不等式，因为 32 = 9，而同时 −32 = 9 |
||
| 每边加 4： | 1 ≤ W ≤ 7 | |
故此，宽度一定是在 1 m 与 7 m 之间（包括端点）。长度是 8−宽度.
检验：
- 若 W = 1，则 L = 8−1 = 7，A = 1 x 7 = 7 m2 （刚好放下 7张桌子）
- 若 W = 0.9 （小于 1），则 L = 7.1， A = 0.9 x 7.1 = 6.39 m2 （放不进 7张桌子）
- 若 W = 1.1 （刚大于 ，则 L = 6.9， A = 1.1 x 6.9 = 7.59 m2 （很容易放进 7张桌子）
- W 在 7 m 附近也一样