配方法
"配方"是……
| ……拿一个像这样的二次方程： |  |
把它转化为： |
ax2 + bx + c = 0 |
a(x+d)2 + e = 0 |
| 如果你没有时间看下去，我可以告诉你： | d = b2a | |
| 并且： | e = c − b24a |
但若你有时间，让我教你怎样自己"配方"。
配方法
假设我们有一个简单的式子，像x2 + bx。x在式子里出现两次，这相当复杂。怎办？
借用几何的理念，我们可以改变它，像这样：
x2 + bx可以几乎重排成一个正方形……
……我们可以搭配上(b/2)2来完成这个正方形
在代数这是：
| x2 + bx | + (b/2)2 | = | (x+b/2)2 | |
| "配方" |
只要配上(b/2)2，我们就可以完成正方形。
现在(x+b/2)2里x只出现一次，令处理比较容易。
保持平衡
注意……我们不能只加 (b/2)2，而不把它减去！否则方程便会完全改变。
我们来看看正确做法的例子：
| 开始： |  |
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| （在这里"b" 是 6） | ||
配方： |
同时，减同一项 |
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简化，就做好了。 |
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||
结果：
x2 + 6x + 7 = (x+3)2 − 2
现在x只出现一次，我们做好了！
捷径
我们来看看我们想要的结果：(x+d)2 + e
展开 (x+d)2 为 x2 + 2dx + d2，所以：
![x^2 + (6x) + [7] 对合 x^2 + (2dx) + [d^2+e]](images/completing-square-expanded.gif)
我们可以"逼"出一个答案出来：
- 我们知道6x会成为2dx，所以d一定是 3
- 我们也知道7会成为 d2 + e = 9 + e，所以e 一定是 −2
得到的结果 (x+3)2 − 2 和上面是一样的！
我们现在来看看一个配方法的应用：解二次方程……
用配方法来解一般二次方程
我们可以用配方法来解一个二次方程（求它何时等于零）。
但一个二次方程可以有系数 a 在x2前面：
ax2 + bx + c = 0
这很容易……先把方程除以 "a"，然后继续：
x2 + (b/a)x + c/a = 0
步骤
我们可以用 5 步来解二次方程：
- 一、 把所有项除以 a（x2的系数）。
- 二、 把常数项 (c/a) 移到方程的右边。
- 三、 左边配方，右边也加同项以保持平衡。
现在方程像 (x + p)2 = q，解这个相当容易：
- 四、 取方程两边的平方根。
- 五、 减去左边剩下的数来求x。
例子
以下有两个例子：
例子 1： 解 x2 + 4x + 1 = 0
一、 可以略过因为 x2 的系数是 1
二、 把常数项移到右边：
三、 左边配方，右边也加同项以保持平衡。
(b/2)2 = (4/2)2 = 22 = 4
四、 取方程两边的平方根：
五、 每边减 2：
还有一个有趣并且有用的小知识。 做完第三步后，方程是： (x + 2)2 = 3
这方程告诉我们 x2 + 4x + 1 的顶点（转折点）在(-2, -3) |
 |
例子 2：解 5x2 – 4x – 2 = 0
一、 所有项除以 5
二、 把常数项移到右边：
三、 左边配方，右边也加同项以保持平衡：
(b/2)2 = (0.8/2)2 = 0.42 = 0.16
四、 取方程两边的平方根：
五、 每边减 (-0.4) （换句话说，加 0.4）：
为什么要"配方"？
为什么要配方？为什么不用二次方程求根公式去解二次方程？
上面讲了一个原因，除了解方程以外，我们还可以知道顶点在哪里。
有时这个方程格式 ax2 + bx + c 可能是一个更大的问题的一部分，把它重排成 a(x+d)2 + e 会让求解更容易，因为 x 只出现一次。
例如， "x" 可能是个函数（像cos(z)），重排后可能可以让我们找到一个更好的解法。
配方也是导出二次方程的求根公式的方法
配方法是你的数学工具箱里的一个工具。
附注： "d"和 "e" 的值
怎样得到在这页面顶部的 d 和 e 的值？
| 开始 |  |
| 除以 a |  |
| 把 c/a 移到另一边 |  |
| 每边加 (b/2a)2 |  |
| "配方" |  |
| 把所有项移到…… | |
| ……左边 |  |
| ……乘以 a，还原 x2的指数 |  |
| 我们得到了： | a(x+d)2 + e = 0 |
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| 其中： | d = b 2a | |
| 并且： | e = c − b2 4a | |
| 和页顶一样！ | ||