无穷级数

无穷个有规律的项的和。

把一个有规律的无穷数列：

1	,	1	,	1	,	1	……
2		4		8		16

（在这例子里每项是上一项的一半）

所有的项加起来：

1	+	1	+	1	+	1	+  ……  =  S
2		4		8		16

便成为一个无穷级数。

（注意：这些点 "……" 代表 "无限延续"）

第一个例子

乍看你或会觉得不可能计算出答案，但有时是可以的！

看以上的例子：

1	+	1	+	1	+	1	+ ... = 1
2		4		8		16

这是为什么：

（下面也有一个代数的证明）

记法

我们通常用总合符号来写无穷级数。以上的例子是这样写的：

这符号（叫总和符号，英语：Sigma）的意思是 "加起来"

试试把 1/2^n 输入到总和（Sigma）计算器.

另一个例子

1	+	1	+	1	+	1	+ ... =	1
4		16		64		256		3

每项是上一项的四分之一，总和是 1/3：

3个空间（1、2和3）里只有 2 被填满，故此和是 1/3。

 

收敛

有时当我们把每项逐个加上，"和" 便趋向一个有限值。这种无穷级数被称为 "收敛的"：

发散

若和列并不收敛，级数便叫做发散。

更多例子

算术级数

若级数里每项与下一项的差是固定的，级数便叫做算术级数。（故此又称：等差级数）

（每项之间的差额是 2。）

 

几何级数

若级数里每项与下一项的比是固定的，级数便叫做几何级数.（故此又称：等比级数）

上面第一个例子是个几何级数：

（每项之间的差额是 ½）

我们可以用代数来证明级数等于 1：

首先，我们以"S" 代表数列的和：		S = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ……
接着，把S 乘以 ½:		S/2 = 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ……
现在把它们相减！
1/4 以后的项都互相抵消了。
结果是：		S - S/2 = 1/2
简化：		S/2 = 1/2
故此：		S = 1

 

调和级数

这是调和级数：

这个级数发散。为什么？把它和另一级数比较：

1	+		1		+	1	+	1	+	1	+	1	+	1	+	1	+	1	+ ……
			2			3		4		5		6		7		8		9
																		等等……
1	+		1		+	1	+	1	+	1	+	1	+	1	+	1	+	1	+ ……
			2			4		4		8		8		8		8		16

上面的数全都是等于或大于下面的数。

把下面每一组加起来：

1	+		1		+	1	+	1	+	1	+	1	+	1	+	1	+	1	...	+ ……
			2			4		4		8		8		8		8		16
1	+		1		+		1		+				1				+		1	+ …… = ∞
			2				2						2						2

故此，原来的级数也一定是无穷大。

 

交错级数

一个交错级数的例子（基于上面的调和级数）是：

它持续上下增减，但收敛到 2 的 自然对数

更多

还有更多的无穷级数。算出它们是收敛还是发散及收敛到哪个值，往往是个有趣的（也是有挑战性的）练习。