定理、推论、引理

 

这些是什么?看起来很深奥!

没有什么了不起,它们都是 事实:一些得出来的结果。

例子

这是几何的例子:

例子:定理、其推论及一个引理!

定理

圆周角 2a 和 a
圆周角是 a° 是圆心角 2a° 的一半

这叫 圆周角定理

证明:连接圆心 O 与 A 点。

圆周角证明

三角形 ABO 是 等边三角形(两等边,两等角),所以:

角 OBA = 角 BAO =

因为 三角形的内角的和是 180°,所以:

角 AOB = (180 − 2b)°

三角形 ACO 是等边三角形,所以:

角 OCA = 角 CAO =

因为 三角形的内角的和是 180°,所以:

角 AOC = (180 − 2c)°

因为 围绕一点的角度是 360°,所以:

角 BOC = 360° − (180 − 2b)° − (180 − 2c)°
  = 2b° + 2c°
  = 2(b + c)°

a 替代 b + c

角 BAC = a°,角 BOC = 2a°

圆周角 2a 和 a

证明了定理。

(这是个 "主要" 的结果,所以是个定理。)

 

推论

(这叫 "同弧的圓周角定理",但其实是"圆周角定理"推论

固定端点……在圆周的任何位置,角 a° 都是不变的:

圆周角 a 和 a

所以,同弧的圓周角是相等的。

 

引理

(这叫 "半圆上的圆周角定理",但其实它只是"圆周角定理"引理

圆周角 2a 和 a半圆上的圆周角 180 和 90

在这个特殊例子里,圆心角是由圆形的直径形成的:

2a° = 180°,所以 a° = 90°

故此,半圆上的圆周角一定是个直角。

(这只不过是个 "小" 的结果,所以是个引理。)

 

再来一个例子,这个和 勾股定理有关:

例子:

定理

若 m 和 n 为整数,而

则 a2 + b2 = c2

证明

a2 + b2   = (m2 − n2)2 + (2mn)2
    = m4 − 2m2n2 + n4 + 4m2n2
    = m4 + 2m2n2 + n4
    = (m2 + n2)2
    = c2

(这是个 "主要" 的结果。)

 

推论

a、b 和 c,定义如上,是一组 勾股数

证明

定理告诉我们:a2 + b2 = c2
所以 a、b 和 c 是勾股数

(这结果过是从原本的定理 "引申" 出来的。)

 

引理

若 m = 2 及 n = 1,则得到勾股数 3、4 和 5

证明

若 m = 2 及 n = 1,则

(这是个 "小" 的结果。)