四象限里的正弦、余弦和正切
正弦、余弦和正切
三角法里的三个主要函数是正弦、余弦和正切。
算法很简单：
把三角形的
一边除以另外一边
……但我们必须知道是哪一边！
以 θ 为角度，这些函数的计算方法是：
正弦函数： |
sin(θ) = 对边 / 斜边 |
余弦函数： |
cos(θ) = 邻边 / 斜边 |
正切函数： |
tan(θ) = 对边 / 邻边 |
例子：35°的正弦是多少？
 |
用这个三角形（长度准确到一个小数位）： sin(35°) = 对边 / 斜边 = 2.8/4.9 = 0.57…… |
笛卡尔坐标
在笛卡尔坐标里，我们用左右 和 上下 的距离来表达一个点：
点 (12,5) 是向右 12 单位，和向上 5 单位。
四个象限
包括负数在内，x轴 和 y轴把平面空间分成四个部分：
象限 I、II、III 和 IV
（以逆时针方向排序）
- 在象限 I，x 和 y 两者皆为正数，
- 在象限 II ，x 是负数（y 仍是正数），
- 在象限 III x 和 y 两者皆为负数，
- 在象限 IV，x 再次是正数，而 y 是负数。
如下：
| 象限 | X （水平） |
Y （垂直） |
例子 |
|---|---|---|---|
| I | 正 | 正 | (3,2) |
| II | 负 | 正 | |
| III | 负 | 负 | (−2,−1) |
| IV | 正 | 负 |
例子：点 "C"（−2,−1）是在负（向左）2 单位和负（向下）1单位。
x 和 y 两者都是负数，所以点是在 "象限 III"
四个象限里的正弦、余弦和正切
现在我们来看看在每个象限的 30°三角形。
在象限 I，一切正常， 正弦、余弦和正切 全是正数：
例子：30°的正弦、余弦和正切
正弦 |
sin(30°) = 1 / 2 = 0.5 |
余弦 |
cos(30°) = 1.732 / 2 = 0.866 |
正切 |
tan(30°) = 1 / 1.732 = 0.577 |
但在象限 II，x 是负数，余弦和正切也变成负数：
例子：150°的正弦、余弦和正切
正弦 |
sin(150°) = 1 / 2 = 0.5 |
余弦 |
cos(150°) = −1.732 / 2 = −0.866 |
正切 |
tan(150°) = 1 / −1.732 = −0.577 |
在象限 III，正弦和余弦是负数：
例子：210°的正弦、余弦和正切
正弦e |
sin(210°) = −1 / 2 = −0.5 |
余弦 |
cos(210°) = −1.732 / 2 = −0.866 |
正切 |
tan(210°) = −1 / −1.732 = 0.577 |
注意：正切是正数，因为负数除以负数的结果是正数。
In 象限 IV，正弦和正切是负数：
例子：330°的正弦、余弦和正切
正弦 |
sin(330°) = −1 / 2 = −0.5 |
余弦 |
cos(330°) = 1.732 / 2 = 0.866 |
正切 |
tan(330°) = −1 / 1.732 = −0.577 |
有个规律！看看正弦、余弦和正切在什么地方是正数……
- 在象限 I，三个函数都是正数
- 在象限 II，只有正弦是正数
- 在象限 III，只有正切是正数
- 在象限 IV，只有余弦是正数
在这图可以看得很清楚：
| 你可以记着英语字母 ASTC，就是 (A)ll（全部）、(S)ine、(T)angent 和 (C)osine。 |  这图也显示 "ASTC"。 |
两个值
看这个正弦的图：
（在头 360°里），有 两个角度的正弦是相同的！
余弦 和 正切也一样。
麻烦的是：计算器只会给你其中一个答案……
……但你可以用以下的规则来求另一个答案：
| 第一值 | 第二值 | |
| 正弦 | θ | 180º − θ |
| 余弦 | θ | 360º − θ |
| 正切 | θ | θ − 180º |
若角度小于 0º，加 360º.
我们现在可以解方程在 0º 与 360º之间的答案了（用 反正弦、反余弦和反正切）
例子：解 sin θ = 0.5
用计算器，我们得到第一个答案 = sin-1(0.5) = 30º （在象限 I）
另一个答案是 180º − 30º = 150º (（象限 II）
例子：解 tan θ = −1.3
用计算器，我们得到第一个答案 = tan-1(−1.3) = −52.4º
这是小于 0º，所以加 360º：−52.4º + 360º = 307.6º （象限 IV）
另一个答案是 307.6º − 180º = 127.6º （象限 II）
例子：解 cos θ = −0.85
用计算器，我们得到第一个答案 = cos-1(−0.85) = 148.2º （象限 II）
另一个答案是 360º − 148.2º = 211.8º （象限 III）