反正弦、反余弦和反正切

简略答案:

直角三角形中:

直角三角形

sin正弦 函数)以角度 θ 为输入来计算 对边斜边 的比

正弦与反正弦

sin-1反正弦)函数以 对边斜边 的比为输入来计算角度  θ

例子 (长度准确到一个小数位):

三角形 2.8 4.0 4.9 有 35 度的角

sin(35°) = 对边 / 斜边
= 2.8/4.9
= 0.57……

sin-1(对边 / 斜边)
= sin-1(0.57……)
= 35°

余弦和正切也是一样的理念。

细节:

正弦、余弦和正切 都是基于直角三角形

它们是非常近似的函数…… 我们这里会用 正弦函数 为例来解释,然后再看 反正弦

正弦函数

三角形对边、邻边和斜边

角 θ 的 正弦 是:

就是:

sin(θ) = 对边 / 斜边

例子:35°的正弦是多少?

三角形 2.8 4.0 4.9 有 35 度的角

用这个三角形(长度准确到一个小数位):

sin(35°) = 对边 / 斜边
= 2.8/4.9
= 0.57……

正弦函数可以用来解这样的问题:

三角船例子30m,39度

例子:用 正弦函数 来求 "d"

已知:

我们求的是 "d"(向下的距离)。

开始:   sin 39° = 对边/斜边
    sin 39° = d/30
换边:   d/30 = sin 39°
用计算器来求 sin 39°:   d/30 = 0.6293……
每边乘以 30:   d = 0.6293…… × 30
    d = 18.88 (保留2个小数位)

深度 "d" 是 18.88 m

反正弦

但有时我们需要知道 角度

这时候我们便要用到 "反正弦" 函数。

它告诉我们 " 什么角度 的正弦等于 对边/斜边?"

饭正弦的符号是 sin-1

三角船例子 30m 和 18.88m

例子:求角 "a"

已知:

我们求的是角 "a"

 

开始:   sin a° = 对边/斜边
    sin a° = 18.88/30
计算 18.88/30:   sin a° = 0.6293……
     
什么的正弦等于 0.6293……?
反正弦函数便知道。
     
反正弦:   a° = sin-1(0.6293……)
     
用计算器来求 sin-1(0.6293……):   a° = 39.0° (准确到一小数位)

角 "a" 是 39.0°

它们是相反的!

正弦与反正弦

例子:

正弦函数:   sin(30°) = 0.5          
反正弦函数:              sin-1(0.5) = 30°

计算器

计算器sin-cos-tan 在计算器上,你按以下其中一个键(视乎计算器的牌子): '2ndF sin' 或 'shift sin'。

试试用 sin,然后用 sin-1 来看看

多于一个角度!

反正弦只会给你一个角度……但可能有更多答案。

例子:这是两个角度,每个的 对边/斜边 = 0.5


三角形 30 和 150 度

其实有无穷多的角度,因为你可以无穷次数地加(或减) 360°:

正弦在30,150,390等经过0.5

记着这个,因为有时你可能真的需要其他的角度!

总结

直角三角形

θ 的正弦是:

sin(θ) = 对边 / 斜边

饭正弦是:

sin-1 (对边 / 斜边) = θ

 

那么, "cos" 和 "tan"……呢?

概念是一样的,但用不同的边的比.

余弦

直角三角形

θ 的余弦是:

cos(θ) = 邻边 / 斜边

反余弦是:

cos-1 (邻变 / 斜边) = θ

三角例子

例子:求角 a°

cos a° = 邻边 / 斜边

cos a° = 6,750/8,100 = 0.8333……

a° = cos-1 (0.8333……) = 33.6° (保留一个小数位)

正切

R直角三角形

θ 的正切是:

tan(θ) = 对边 / 邻边

反正切是:

tan-1 (对边 / 邻边) = θ

三角例子

例子:求角 x°

tan x° = 对边 / 邻边

tan x° = 300/400 = 0.75

x° = tan-1 (0.75) = 36.9° (准确到小数点后一位)

 

其他写法

sin-1 也可以写成 asinarcsin
同样, cos-1 也可以写成 acosarccos
tan-1 也可以写成 atanarctan

例子:

 

最后,我们来看看正弦、反正弦、余弦和反余弦的图:

正弦图
正弦
反正弦图
反正弦
余弦图
余弦
反余弦图
反余弦

留意到图有什么特别吗?

以余弦的图为例。

以下是 余弦反余弦 的图(画在一起):

余弦镜像图
余弦和反余弦

它们是沿对角线的镜像

但为什么反余弦的上面和下面删除了(那些点不是函数的一部分)……?

因为当我们问:" cos-1(x) 是多少?",函数 只可以给我们一个答案

一个或无穷多的答案

但我们说过其实有 无穷多的答案,正如图中的虚线显示的一样。

所以是无穷多的答案的……

……但若你把 0.5 打进计算器,然后按 cos-1,它不能送回无穷多的答案……

所以我们订立了这个规矩:函数只能有一个答案

故此,把图的上面和下面删除后,函数便只有一个答案,但我们不要忘记实际上是可能有其他答案的

正切和反正切

这是正切和反正切的图。你可以看的到它们是沿对角线的镜像。

正切图
正切
反正切图
反正切