反正弦、反余弦和反正切
简略答案：
在直角三角形中：
sin （正弦 函数）以角度 θ 为输入来计算 对边斜边 的比
sin-1 （反正弦）函数以 对边斜边 的比为输入来计算角度 θ
例子 （长度准确到一个小数位）：
sin(35°) = 对边 / 斜边
= 2.8/4.9
= 0.57……
sin-1(对边 / 斜边)
= sin-1(0.57……)
= 35°
余弦和正切也是一样的理念。
细节：
正弦、余弦和正切 都是基于直角三角形
它们是非常近似的函数…… 我们这里会用 正弦函数 为例来解释，然后再看 反正弦。
正弦函数
角 θ 的 正弦 是：
- 角 θ 对面的边的长度
- 除以 斜边的长度
就是：
sin(θ) = 对边 / 斜边
例子：35°的正弦是多少？
|
用这个三角形（长度准确到一个小数位）： sin(35°) = 对边 / 斜边 |
正弦函数可以用来解这样的问题：
例子：用 正弦函数 来求 "d"
已知：
- 链与海底之间的角度是 39°
- 链的长度是 30 m.
我们求的是 "d"（向下的距离）。
| 开始： | sin 39° = 对边/斜边 | |
| sin 39° = d/30 | ||
| 换边： | d/30 = sin 39° | |
| 用计算器来求 sin 39°： | d/30 = 0.6293…… | |
| 每边乘以 30： | d = 0.6293…… × 30 | |
| d = 18.88 （保留2个小数位） |
深度 "d" 是 18.88 m
反正弦
但有时我们需要知道 角度。
这时候我们便要用到 "反正弦" 函数。
它告诉我们 " 什么角度 的正弦等于 对边/斜边？"
饭正弦的符号是 sin-1
例子：求角 "a"
已知：
- 向下的距离是 18.88 m。
- 链的长度是 30 m。
我们求的是角 "a"
| 开始： | sin a° = 对边/斜边 | |
| sin a° = 18.88/30 | ||
| 计算 18.88/30： | sin a° = 0.6293…… | |
| 什么角的正弦等于 0.6293……？ 用反正弦函数便知道。 |
||
| 反正弦： | a° = sin-1(0.6293……) | |
| 用计算器来求 sin-1(0.6293……)： | a° = 39.0° （准确到一小数位） | |
角 "a" 是 39.0°
它们是相反的！
- 正弦函数 sin 以 角度 为输入来计算 "对边/斜边" 的 比
- 反正弦函数 sin-1 以 "对边/斜边" 的 比 为输入来计算 角度。
例子：
| 正弦函数： | sin(30°) = 0.5 | |
| 反正弦函数： | sin-1(0.5) = 30° |
计算器
 |
在计算器上，你按以下其中一个键（视乎计算器的牌子）： '2ndF sin' 或 'shift sin'。 |
试试用 sin，然后用 sin-1 来看看
多于一个角度！
反正弦只会给你一个角度……但可能有更多答案。
例子：这是两个角度，每个的 对边/斜边 = 0.5
其实有无穷多的角度，因为你可以无穷次数地加（或减） 360°：
记着这个，因为有时你可能真的需要其他的角度！
总结
角 θ 的正弦是：
sin(θ) = 对边 / 斜边
饭正弦是：
sin-1 (对边 / 斜边) = θ
那么， "cos" 和 "tan"……呢？
概念是一样的，但用不同的边的比.
余弦
角 θ 的余弦是：
cos(θ) = 邻边 / 斜边
反余弦是：
cos-1 (邻变 / 斜边) = θ
例子：求角 a°
cos a° = 邻边 / 斜边
cos a° = 6,750/8,100 = 0.8333……
a° = cos-1 (0.8333……) = 33.6° （保留一个小数位）
正切
角 θ 的正切是：
tan(θ) = 对边 / 邻边
反正切是：
tan-1 (对边 / 邻边) = θ
例子：求角 x°
tan x° = 对边 / 邻边
tan x° = 300/400 = 0.75
x° = tan-1 (0.75) = 36.9° （准确到小数点后一位）
其他写法
sin-1 也可以写成 asin 或 arcsin。
同样， cos-1 也可以写成 acos 或 arccos
tan-1 也可以写成 atan 或 arctan。
例子：
- arcsin(y) 和 sin-1(y) 是一样的
- atan(θ) 和 tan-1(θ) 是一样的
- 等等
图
最后，我们来看看正弦、反正弦、余弦和反余弦的图：
正弦
反正弦
余弦
反余弦
留意到图有什么特别吗？
- 它们有点相似，对不对？
- 但反正弦和反余弦的图不是像正弦和余弦的图那样"无穷延续"的……
以余弦的图为例。
以下是 余弦 和 反余弦 的图（画在一起）：
余弦和反余弦
它们是沿对角线的镜像
但为什么反余弦的上面和下面删除了（那些点不是函数的一部分）……？
因为当我们问：" cos-1(x) 是多少？"，函数 只可以给我们一个答案
一个或无穷多的答案
但我们说过其实有 无穷多的答案，正如图中的虚线显示的一样。
所以是有无穷多的答案的……
……但若你把 0.5 打进计算器，然后按 cos-1，它不能送回无穷多的答案……
所以我们订立了这个规矩：函数只能有一个答案。
故此，把图的上面和下面删除后，函数便只有一个答案，但我们不要忘记实际上是可能有其他答案的。
正切和反正切
这是正切和反正切的图。你可以看的到它们是沿对角线的镜像。
正切
反正切