齐次微分方程
在这里我们会了解怎样解 "齐次微分方程"
齐次微分方程
若一阶微分方程可以写成以下的格式，它便是齐次的：
dy dx = F( y x )
我们可以用 分离变量法 来解，但首先我们需要建立一个新变量 v = y x
v =
y
x
也代表 y = vx
这可以简化为
dy
dx
= v + x
dv
dx
用 y = vx 和 dy dx = v + x dv dx，我们便可以解这个微分方程。
让我举个例子来解释：
例子：解 dy dx = x2 + y2 xy
可不可以写成 F( x y ) 的格式？
| 开始： | x2 + y2 xy | |
| 把项分开： | x2 xy + y2 xy | |
| 简化： | x y + y x | |
| 第一项的倒数： | ( y x )-1 + y x |
行了！我们继续做：
| 开始： | dy dx = ( y x )-1 + y x | |
| y = vx 和 dy dx = v + x dv dx | v + x dv dx = v-1 + v | |
| 每边减 v： | x dv dx = v-1 |
用 分离变量法：
| 分离变量： | v dv = 1 x dx | |
| 加积分符号： | ∫v dv = ∫ 1 x dx | |
| 求积分： | v2 2 = ln(x) + C | |
| 设 C = ln(k)： | v2 2 = ln(x) + ln(k) | |
| 合并 ln： | v2 2 = ln(kx) | |
| 简化： | v = ±√(2 ln(kx)) |
代入 v = y x
| 代入 v = y x : | y x = ±√(2 ln(kx)) | |
| 简化： | y = ±x √(2 ln(kx)) |
解了。
再举个例子：
例子：解 dy dx = y(x−y) x2
可不可以写成 F( x y ) 的格式？
| 开始： | y(x−y) x2 | |
| 把项分开： | xy x2 − y2 x2 | |
| 简化： | y x − ( y x )2 |
行了！我们继续做：
| 开始： | dy dx = y x − ( y x )2 | |
| y = vx 和 dy dx = v + x dv dx | v + x dv dx = v − v2 | |
| 每边减 v： | x dv dx = −v2 |
用 分离变量法：
| 分离变量： | − 1 v2 dv = 1 x dx | |
| 加积分符号： | ∫− 1 v2 dv = ∫ 1 x dx | |
| 求积分： | 1 v = ln(x) + C | |
| 设 C = ln(k): | 1 v = ln(x) + ln(k) | |
| 合并 ln： | 1 v = ln(kx) | |
| 简化： | v = 1 ln(kx) |
代入 v = y x
| 代入 v = y x : | y x = 1 ln(kx) | |
| 简化： | y = x ln(kx) |
解了。
最后一个例子：
例子：解 dy dx = x−y x+y
可不可以写成 F( x y ) 的格式？
| 开始： | x−y x+y | |
| 除以 x： | x/x−y/x x/x+y/x | |
| 简化： | 1−y/x 1+y/x |
行了！我们继续做：
| 开始： | dy dx = 1−y/x 1+y/x | |
| y = vx 分和 dy dx = v + x dv dx | v + x dv dx = 1−v 1+v | |
| 每边减 v： | x dv dx = 1−v 1+v − v | |
| 得到： | x dv dx = 1−v 1+v − v+v2 1+v | |
| 简化： | x dv dx = 1−2v−v2 1+v |
用 分离变量法：
| 分离变量： | 1+v 1−2v−v2 dv = 1 x dx | |
| 加积分符号： | ∫ 1+v 1−2v−v2 dv = ∫ 1 x dx | |
| 求积分： | − 1 2 ln(1−2v−v2) = ln(x) + C | |
| 设 C = ln(k)： | − 1 2 ln(1−2v−v2) = ln(x) + ln(k) | |
| 合并 ln： | (1−2v−v2)−½ = kx | |
| 求平方和取倒数： | 1−2v−v2 = 1 k2x2 |
代入 v = y x
| 代入 v = y x : | 1−2( y x )−( y x )2 = 1 k2x2 | |
| 乘以 x2： | x2−2xy−y2 = 1 k2 |
差不多了……不过最好把 y 也分解出来！
我们可以因式分解 x2−2xy−y2，但需要先重排式子：
| 倒转正负号： | y2+2xy−x2 = − 1 k2 | |
| 以 c 来代替 − 1 k2 ： | y2+2xy−x2 = c | |
| 每边加 2x2： | y2+2xy+x2 = 2x2+c | |
| 因式分解： | (y+x)2 = 2x2+c | |
| 取平方根： | y+x = ±√(2x2+c) | |
| 每边减 x: | y = ±√(2x2+c) − x |
解了。