齐次微分方程

微分方程 是有 函数 及其一个或以上的 导数 的方程:

微分方程 dy/dx = 5xy
例子:这个方程有函数 y 和它的导数 dy dx

在这里我们会了解怎样解 "齐次微分方程"

齐次微分方程

若一阶微分方程可以写成以下的格式,它便是齐次的:

dy dx = F( y x )

我们可以用 分离变量法 来解,但首先我们需要建立一个新变量 v = y x

v = y x   也代表   y = vx
所以 dy dx = d (vx) dx = v dx dx + x dv dx (基于 积法则
这可以简化为 dy dx = v + x dv dx

y = vx dy dx = v + x dv dx,我们便可以解这个微分方程。

让我举个例子来解释:

例子:解 dy dx = x2 + y2 xy

可不可以写成 F( x y ) 的格式?

开始:   x2 + y2 xy
把项分开:   x2 xy + y2 xy
简化:   x y + y x
第一项的倒数:   ( y x )-1 + y x

行了!我们继续做:

开始:   dy dx = ( y x )-1 + y x
y = vx dy dx = v + x dv dx   v + x dv dx = v-1 + v
每边减 v:   x dv dx = v-1

分离变量法

分离变量:   v dv = 1 x dx
加积分符号:   v dv = 1 x dx
求积分:   v2 2 = ln(x) + C
C = ln(k)   v2 2 = ln(x) + ln(k)
合并 ln:   v2 2 = ln(kx)
简化:   v = ±√(2 ln(kx))

代入 v = y x

代入 v = y x :   y x = ±√(2 ln(kx))
简化:   y = ±x √(2 ln(kx))

解了。

 

再举个例子:

例子:解 dy dx = y(x−y) x2

可不可以写成 F( x y ) 的格式?

开始:   y(x−y) x2
把项分开:   xy x2 y2 x2
简化:   y x − ( y x )2

行了!我们继续做:

开始:   dy dx = y x − ( y x )2
y = vx dy dx = v + x dv dx   v + x dv dx = v − v2
每边减 v:   x dv dx = −v2

分离变量法

分离变量:   1 v2 dv = 1 x dx
加积分符号:   1 v2 dv = 1 x dx
求积分:   1 v = ln(x) + C
C = ln(k):   1 v = ln(x) + ln(k)
合并 ln:   1 v = ln(kx)
简化:   v = 1 ln(kx)

代入 v = y x

代入 v = y x :   y x = 1 ln(kx)
简化:   y = x ln(kx)

解了。

最后一个例子:

例子:解 dy dx = x−y x+y

可不可以写成 F( x y ) 的格式?

开始:   x−y x+y
除以 x:   x/x−y/x x/x+y/x
简化:   1−y/x 1+y/x

行了!我们继续做:

开始:   dy dx = 1−y/x 1+y/x
y = vx 分和 dy dx = v + x dv dx   v + x dv dx = 1−v 1+v
每边减 v:   x dv dx = 1−v 1+v − v
得到:   x dv dx = 1−v 1+v v+v2 1+v
简化:   x dv dx = 1−2v−v2 1+v

分离变量法

分离变量:   1+v 1−2v−v2 dv = 1 x dx
加积分符号:   1+v 1−2v−v2 dv = 1 x dx
求积分:   1 2 ln(1−2v−v2) = ln(x) + C
C = ln(k)   1 2 ln(1−2v−v2) = ln(x) + ln(k)
合并 ln:   (1−2v−v2)−½ = kx
求平方和取倒数:   1−2v−v2 = 1 k2x2

代入 v = y x

代入 v = y x :   1−2( y x )−( y x )2 = 1 k2x2
乘以 x2   x2−2xy−y2 = 1 k2

差不多了……不过最好把 y 也分解出来!
我们可以因式分解 x2−2xy−y2,但需要先重排式子:

倒转正负号:   y2+2xy−x2 = − 1 k2
以 c 来代替 − 1 k2   y2+2xy−x2 = c
每边加 2x2   y2+2xy+x2 = 2x2+c
因式分解:   (y+x)2 = 2x2+c
取平方根:   y+x = ±√(2x2+c)
每边减 x:   y = ±√(2x2+c) − x

解了。