微分方程
例子：这个方程有函数 y 和它的导数
dy
dx
解
解微分方程的意思是求函数 y（或函数 y 的集合）。
有很多 "技巧" 可以用来解微分方程（如有解的话！）。但首先我们要知道：为什么？
微分方程有什么用？
在这个世界上，事物不停变动，而微分方程往往就是形容这些变动的好方法：
例子：兔子！
越多兔子就会越多小兔，小兔长大后又会生小兔。这样，兔子的数量会增长得越来越快！
重要的资料是：
- 在任何时间 t 时兔子的数量 N
- 增长率 r
- 数量变化率
N
我们假设一些值：
- 数量 N 是：1000
- 增长率 r 是：每只现有兔子每星期产生 0.01 只新兔子
数量变化率 N 便是每星期 1000×0.01 = 10 只新兔子。
但这只是在一个特定的时间，而没有考虑到兔子数量是在连续不断地增加。
记着：数量越大，新兔子越多！
所以应该说变化率（在任何时间）是增长率乘以在那一刻的数量：
| dN | = rN |
| dt |
这是个 微分方程，因为他有函数 N(t) 和它的导数。
数学是不是很棒？这个短短的方程已可以表达了长长的一句 "数量对于时间的变化率等于增长率乘以数量"。
微分方程可以形容人口变化、热量移动、弹簧震动、放射性物体衰变及很多其他现象。微分方程是形容宇宙里很多事物的正常并合理的方法。
怎样应用微分方程？
微分方程是表达事物的好方法，但用起来并不容易。
所以我们在解微分方程时，尝试把微分方程转变为比较简单的代数式方程（没有微分）。这样我们便可以计算、画图、预测、等等。
例子：复利
钱赚利息。利息可以在固定时间计算，例如每年、每月等等，然后加在余额上。
这叫复利。
但若复利是连续计算的，在每一刻利息都会按比例加在当时的余额上。
余额越大，利息越多。
以 t 为时间、 r 为利率、V 为当前的余额：
| dV | = rV |
| dt |
有趣的是，这和上面兔子的数量是同一个方程！只不过字母不同。数学告诉我们这两个现象的特性是一样的。
解
微分方程是形容事物的好方法，但用起来就不太容易。
但这个微分方程是可以解的，（例如用分离变量法），结果是：
V = Pert
在这里， P 是本金（原来的投资或贷款）。
所以一个连续复利，年期 2 年，年利率 10% 的 ￥1,000 贷款在两年后的余额是：
V = 1000 × e(2×0.1)
V = 1000 × 1.22140...
= $1,221.40 （精确至最接近的一分）
所以虽然微分方程是表达事物的好方法，我们仍需要解了方程才有用。
更多微分方程的例子
费尔哈斯公式
例子：又是兔子！
上面的增长微分方程是：
| dN | = rN |
| dt |
增长不能无穷延续下去，食物始终都会被吃光。
我们加入以下来改良方程：
- 食物可以维持最大的兔子数量 k
数学家费尔哈斯发表了这个方程：
| dN | = rN(1-N/k) |
| dt |
费尔哈斯公式
简谐运动
在物理学中，简谐运动是一种周期运动。在简谐运动中，物体所受的回复力跟位移成正比。简谐运动的一个例子是悬挂在弹簧上的重物。
例子：弹簧和重物
有一个重物悬挂在弹簧上：
- 引力把重物向下拉，
- 弹簧被拉长，张力也跟着增大，
- 然后弹簧弹起，
- 再掉下、弹起、掉下……不断地重复.
有数学来形容这现象！
重物被引力向下拉，而牛顿第二定律 表明：力等于质量乘以加速度：
F = ma
F = m d2xdt2
弹簧把重物向上拉是与弹簧本身被拉长的程度有关（k 是弹簧的刚度，x 是弹簧被拉长的程度）：F = -kx
这两个力是相同的：
m d2xdt2 = −kx
是个微分方程！
有函数 x(t) 和它的二阶导数 d2x dt2
注意：我们没有考虑 "阻尼" （由摩擦引致的振动减速），因为这样会更复杂。
我们需要 解 这个微分方程来了解弹簧怎样上下振动。
先分类再去解
怎样去解？
长期以来，很多了不起的人发现了一些特别方法 来解 某些种类 的微分方程。
所以我先需要知道微分方程的种类。
就好像旅行一样：乘搭不同的交通工具可以去不同的地方。去邻近的地方，我们可以走路。有马路我们就可以开车。有河或海洋？我们要乘船了。在另一个银河系？不能去了！（至少暂时不能）
所以我们需要把微分方程分类。
常或偏
第一个主要种类是：
- "常微分方程"（ODE）只有 一个自变量（像 y）
- "偏微分方程"（PDE）有两个或以上自变量。
我们在这里学的是常微分方程!
阶数与次数
接下来我们算出微分方程的阶数与次数：
阶数
阶数是 最高的导数 （是一阶导数还是 二阶导数？等等 ）：
例子：
| dy | + y2 = 5x |
| dx |
这个微分方程只有一阶导数 dy dx ，所以是 "一阶"
例子：
| d2y | + xy = sin(x) |
| dx2 |
这个微分方程有个二阶导数 d2y dx2 ，所以是 "二阶"
例子：
| d3y | + x | dy | + y= ex |
| dx3 | dx |
这个有三阶导数 d3y dx3 大于 dy dx ，所以是 "三阶"
次数
次数 是最高导数的指数.
例子：
| ( | dy | ) | 2 + y = 5x2 |
| dx |
最高导数是 dy/dx，它的指数是 2所以这是 "二次"
是个 一阶二次常微分方程
例子：
| d3y | + ( | dy | ) | 2 + y = 5x2 |
| dx3 | dx |
最高导数是 d3y/dx3，但没有指数（其实指数是 1，不过没有写出来），所以这是 "一次"。
（我们不算 dy/dx 的指数 2，因为它不是最高导数）。
所以这是 三阶一次常微分方程
小心！不要把阶数和次数混淆了。有些人说阶数，其实他们的意思是次数！
线性
微分方程是线性的，若变量（和其导数）没有指数或与其他函数相乘。
所以，没有 y2、y3、√y、sin(y)、ln(y) 等等， 只有 y （变量）。
比较正式地说，线性微分方程是以这形式表达的：
| dy | + P(x)y = Q(x) |
| dx |
解
好，我们把微分方程分类了，下一步便是解微分方程。
以下不是所有解微分方程的方法，但你可以用来做学习的起点：