函数复合
"函数复合"是把一个函数的输出作为另一个函数的输入：
把 f() 的结果代入 g() 里
写法是：(g º f)(x)
意思是：g(f(x))。复合后的函数叫复合函数。
例子：f(x) = 2x+3，g(x) = x2
"x" 只是个位置标志符，为简单起见，在这里我们称之为 "输入"：
f(输入) = 2(输入)+3
g(输入) = (输入)2
开始：
(g º f)(x) = g(f(x))
先运用 f，然后在结果上运用 g：
(g º f)(x) = (2x+3)2
如果我们把 f 和 g 的次序掉转呢？
(f º g)(x) = f(g(x))
先运用 g，然后在结果上运用 f：
(f º g)(x) = 2x2+3
得到不同的结果！
所以我们要小心函数的先后次序。
符号
函数复合的符号是个小圆圈（或空心圆点）：
(g º f)(x)
它不是个实心圆点：(g · f)(x) 的意思是相乘。
与自己复合
你甚至可以把函数与自己复合！
例子：f(x) = 2x+3
(f º f)(x) = f(f(x))
先运用 f，然后在结果上运用 f：
(f º f)(x) = 2(2x+3)+3 = 4x + 9
不用画图也可以解：
| (f º f)(x) | = f(f(x)) |
| = f(2x+3) | |
| = 2(2x+3)+3 | |
| = 4x + 9 |
定义域
相当容易！但有一点复杂的是，你要考虑函数的定义域。
定义域是函数所有输入值的集.
函数要可以运用在所有的输入上，所以你要自己决定用正确的定义域！
例子：√x（x 的平方根）的定义域
负数是没有平方根的（除非用虚数，但在这里我们不用），所以定义域不能包括负数：
√x 的定义域是所有非负实数
在实数直线上像这样：
用集合建构式符号表达就是：
{ x
| x ≥ 0}
用区间符号表达就是：
[0,+∞)
定义域一定要正确，不然结果就会有问题了！
复合函数的定义域
两个定义域都要正确（符合函数和第一个函数）。
例如，(g º f)(x) = g(f(x))：
- f(x) 的定义域要正确，
- g(x) 的定义域也要正确
例子：f(x) = √x and g(x) = x2
f(x) = √x 的定义域是所有非负实数
g(x) = x2 的定义域是所有实数
复合函数是：
| (g º f)(x) | = g(f(x)) |
| = (√x)2 | |
| = x |
通常 "x" 的定义域是所有实数 ……
…… 但因为在这里它是个复合函数，所以我们也要考虑 f(x) 的定义域
因此，这个复合函数的定义域是所有非负实数
为什么要考虑两个定义域？
想象函数是机器 …… 第一个函数用火烧一个洞（只能在金属上烧)，第二个函数把洞钻大一点（可以钻木头或金属）：
 |
你看到最后结果是的钻出来的洞，所以你可能以为这个复合机器用在木头和金属上都可以。 但是，如果你把木头放进 g º f 这个复合机器里，第一个函数 f 就会把木头烧掉！ |
所以 "机器里面" 的运作是重要的。
分解函数
你也可以反过来把一个函数分解成几个函数的复合。
例子： (x+1/x)2
这个函数可以是几个函数的复合：
f(x) = x + 1/x
g(x) = x2
结果是：
| (g º f)(x) | = g(f(x)) |
| = g(x + 1/x) | |
| = (x + 1/x)2 |
有时这个方法可以帮助我们简化一个复杂的函数。
总括
- "函数复合" 是把一个函数的输出作为另一个函数的输入。
- (g º f)(x) = g(f(x)), 先运用 f()，然后运用 g()
- 一定要符合第一个函数的定义域
- 有一些函数可以被分解成两个或以上比较简单的函数。