活动: 布丰投针问题
用抛火柴来估计 Pi
几百年前人们喜欢 把硬币抛到地上 来赌博。。。。。。 硬币会不会接触到地板上的线条呢？
乔治-路易·勒克莱尔，布丰伯爵 (Georges-Louis Leclerc, the Count of Buffon) 思考这问题，并算出了概率。
为纪念他，人们称这难题为 “布丰投针问题”。
现在你来试试！
你需要：
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一支火柴, 把火柴头切去。 （你可以用针，但不过要小心！） |
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一张纸，纸上有相距 50 毫米的平行直线。 |
步骤
- 测量量度线与线间的距离 （可能不是正正50 毫米）： ____ 毫米
- 测量火柴的长度 （一定要比线与线间的距离短）： ____ 毫米
- 确定纸张是放在平面 上，例如在桌面或地板上。
- 从大概 5 厘米的高度，让火柴掉到纸上，记下它的落点：
A: 不触到线
B: 触到或横越线条
从什么高度掉下火柴并不重要，但不要离纸张太近，这样是作弊！
如果火柴完全落在纸外，这次就不要计算。
100 次
我们要抛 100 次火柴，不过在这之前。。。。。。
。。。。。。 A 或 B 的概率是多少？
做实验前，先做个猜测：:
| 你猜 "A" 的概率是（%）： | |
| 你猜 "B" 的概率是（%）： |
好，我们开始。
把火柴掉下 100 次，用计数 符号 记下A（不触线) 或 B（触或横越线）：
| 火柴落点 | 计数符号 | 次数 | 百分比 |
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A
(不触线) |
|||
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B
(触或横越线) |
|||
| 总值： | 100 | 100% |
画一个 柱状图 来显示说明你的实验结果。 你可以在 Data Graphs (Bar, Line and Pie) 生成柱状图。
- 柱状图里的柱是不是一样高？
- 你认为它们会一样高吗？
- 比对一下实验结果和你的猜测，你看到什么？
现在我们来估计 Pi 的值
布丰用他的实验结果来估计 π (Pi) 的值. 他计算出这方程式：
π ≈ 2Lxp
其中
- L 是针的长度 （我们用的是火柴）
- x 是线与线之间的距离 （我们的是 50 毫米）
- p 是针触到或横越线的比例 （B 情况）
我们也来试试！
例子： 山姆用的火柴的长度是 31 毫米， 线与线之间的距离是 40 毫米，100 次里有 49 次火柴触到或横越线条
山姆的结果是：
- L = 31
- x = 40
- p = 49/100 = 0.49
把这些值代入方程式，山姆算出：
π ≈ 2 × 3140 × 0.49 ≈ 3.16
轮到你了。把你的实验结果填到表上：
| 火柴长度 ”L“ （毫米）： | |
| 线与线之间的距离 ”x“ （毫米）： | |
| p （火柴触线或横越线的比例）： |
然后计算:
π ≈ 2L xp ≈ 2 × _____ _____ × _____ ≈ _____
你的结果比山姆好吗？
这不会是绝对准确的（因为这是随机的），但可能相差不大。
等式变换
这项活动的下一部份是对方程式做 ”等式变换“ ，从而算出 “p” (火柴触线或横越线的比例）的准确值：
| 开始： | π ≈ 2L/xp |
| 用 p 乘以两边： | πp ≈ 2L/x |
| 用π 除 以两边： | p ≈ 2L/πx |
我们得到：
p = 2L πx
例子: 亚历克斯用的火柴长 36 毫米, 线与线之间距离 50 毫米。
亚历克斯的结果是：
- L = 36
- x = 50
把这些值代入方程式，亚历克斯算出：
p = 2 × 36 π × 50 = 0.46...
亚历克斯的火柴应该在 100 次里有 46 次触线或横越线（B 情况）
把你的实验结果填入以下表格
| 火柴长度 ”L“ （毫米）： | |
| 线与线之间的距离 ”x“ （毫米）： | |
| p 的估值 （= 2L/πx）： |
你的实验结果准确吗？
不同长度的火柴
试试再做这实验，不过用另一支长度不同的火柴 （但不能比线与线之间的距离长！）
- 你的实验结果比上次好了还是差了？
你在这活动：
开开心心（希望是吧） 做实验。
你得到一些计算的经验。
你还体会到理论和现实的关系。