欧拉复数公式

（也有另外一个关于几何的 "欧拉公式"，
本页讲的是复数用的欧拉公式）

首先，你一定见过这个著名的方程：

e^iπ + 1 = 0

这个方程真的很奇妙，因为它集合了：

e （欧拉数）
i （单位虚数)
π （大名鼎鼎的 pi，一个在很多不同领域都出现的数）
0 和 1（也是不凡的数！）

若你想体验一个美妙的数学之旅，请继续看下去。

欧拉公式

这方程其实源自欧拉公式：

e^ix = cos x + i sin x

以 x = π，我们得到：

e^iπ = cos π + i sin π

e^iπ = −1 + i × 0 （因为 cos π = −1 和 sin π = 0）

e^iπ = −1

e^iπ + 1 = 0

故此，e^iπ + 1 = 0 只不过是更有用的欧拉公式的一个特例。

发现

在大约公元1740年时，数学家都对虚数很有兴趣。

虚数的平方是负数

通常这是不可能的（试试去取任何数的平方，记着负负得正），但想象你可以做得到，并叫这个数为 i（英语字“imaginary”（想象）的第一个字母），然后看看会有什么发生：

i² = -1

有一天，欧拉在用虚数玩耍（！），他拿这个泰勒级数（在当时已经发现了）：

e^x = Sigma n=0 到无穷大 x^n/n! = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + x^5/5! + ...。

（你可以用总和计算器来试试。）

他把 i 代进去：

e^ix = 1 + ix + (ix)^2/2! + (ix)^3/3! + (ix)^4/4! + (ix)^5/5! + ...

因为 i² = -1，级数简化成：

e^ix = 1 + ix - x^2/2! - ix^3/3! + x^4/4! + ix^5/5! - ...

把含有 i 和没有 i 的项分开，我们得到：

taylor series e^ix = (1-x^2/2! + x^4/4! - ...) + i (1-x^3/3! + x^5/5! - ...)

奇迹出现……

第一组是 cos 的泰勒级数
第二组是 sin 的泰勒级数

泰勒级数 cos(x) = 1-x^2/2! + x^4/4! - ...，和 sin(x) = 1-x^3/3! + x^5/5! - ...

故此：

例子：当 x = 3

e^ix = cos x + i sin x

e³ⁱ = cos 3 + i sin 3

e³ⁱ = −0.990 + 0.141 i (（保留三位小数）

注意：我们是用弧度，不是用度数。

答案是实数与虚数的组合，叫复数。

我们甚至可以在复数平面画出这个数（实数从左到右，虚数从下到上）：

图实虚 -0.990 + 0.141i
在这图我们显示 −0.990 + 0.141 i 这个复数

这数也是 e³ⁱ

圆形！

把欧拉公式放到图上便会形成一个圆形：

e^ix = cos(x) + i sin(x) 在圆形上
e^ix 形成一个半径是 1 的圆形

我们可以把任何点（例如 3 + 4i）变成 re^ix 的格式（只需找到 x 的值和圆形的半径，r）

例子：3 + 4i

把这复数转换为 re^ix的格式，我们要转换笛卡尔坐标为极坐标：

r = √(3² + 4²) = √(9+16) = √25 = 5
x = tan^-1 ( 4 / 3 ) = 0.927 （保留三位小数）

所以 3 + 4i 也可以是 5e^{0.927 i}

3+4i = 5 在 0.927

在很多情况下，用re^ix这个格式（例如乘法）比用 a+bi 容易

最后，这个点是 e^iπ（刚才在页顶讲的）：

e^ipi = -1 + i 在圆形上

e^iπ = −1