复数
复数
复数是
实数和虚数的组合
实数是像这样的数：
| 1 | 12.38 | −0.8625 | 3/4 | √2 | 1998 |
差不多所有日常遇到的数都是实数！
虚数的平方是负数。
这通常不会发生，因为：
但你需要想象虚数存在，因为它很有用。
虚数"单位"（像实数的1）是 i，就是 −1 的平方根
因为 i 的平方就是 −1
i2 = −1
虚数例子：
| 3i | 1.04i | −2.8i | 3i/4 | (√2)i | 1998i |
虚数里的 "i" 就是代表要乘以 √−1
复数
复数是实数与虚数的组合：
例子：
| 1 + i | 39 + 3i | 0.8 − 2.2i | −2 + πi | √2 + i/2 |
两个部分都可以是零
复数有实部与虚部。
但这两个部都可以是 0，所以所有实数和虚数都是复数。
| 复数 | 实部 | 虚部 |
|---|---|---|
| 3 + 2i | 3 | 2 |
| 5 | 5 | 0 |
| −6i | 0 | −6 |
复杂吗？
复数不复杂。
意思只不过是实数和虚数两种数结合起来就是复数。
视觉解释
实数直线是从左向右的。
虚数就是从上到下：
这就是复数平面
一个复数是在复数平面上的一点：
复数 3 + 4i
加法
把两个复数相加，我们分开来加实部和虚部：
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
例子：3 + 2i 加 1 + 7i
- 加实部，
- 加虚部：
(3 + 2i) + (1 + 7i)
= 3 + 1 + (2 + 3)i
= (4 + 9i)
我们用视觉方式做：
例子：3 + 5i 加 4 − 3i
(3 + 5i) + (4 − 3i)
= 3 + 4 + (5 − 3)i
= 7 + 2i
乘法
把两个复数相乘：
第一个复数的每个部分 和
第2个复数的每个部分
想："首外内尾"（去二项式乘法了解更多）：
 |
|
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi2 |
|
像这样：
例子：(3 + 2i)(1 + 7i)
| (3 + 2i)(1 + 7i) | = 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i | ||
| = 3 + 21i + 2i + 14i2 | |||
| = 3 + 21i + 2i − 14 | （因为 i2 = −1） | ||
| = −11 + 23i |
和这样：
例子： (1 + i)2
| (1 + i)2 = (1 + i)(1 + i) | = 1×1 + 1×i + 1×i + i2 | ||
| = 1 + 2i − 1 | （因为 i2 = −1） | ||
| = 0 + 2i |
捷径！
用这个公式：
(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
例子： (3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i
公式背后……
这个公式只不过是简化了的 "首外内尾" 法：
| (a+bi)(c+di) | = | ac + adi + bci + bdi2 | 首外内尾法 | |
| = | ac + adi + bci − bd | （应为 i2 = −1） | ||
| = | (ac − bd) + (ad + bc)i | （拼合同类项) |
这就是：(ac − bd) + (ad + bc)i 。
用公式会快点，但如果你忘了，你也可以用 "首外内尾法"。
试试 i2
我们现在试试用这个公式来求 i2
例子：i2
i 可以写成实部与虚部的组合：0 + i
| i2 = (0 + i)2 | = (0 + i)(0 + i) | ||
| = (0×0 − 1×1) + (0×1 + 1×0)i | |||
| = −1 + 0i | |||
| = −1 |
这就是 i 的定义： i2 = −1
所以这个公式是管用的！
去了解复数乘法。
共轭
我们等会儿需要用共轭！
共轭是把中间的正负号改变，像这样：
共轭的一般符号是上面放一条横线：
例子：
5 − 3i = 5 + 3i
除法
复数除法需要用到共轭。
技巧是把上面和下面都乘以下面的共轭。
例子：
| 2 + 3i | |
| 4 − 5i |
把上面和下面乘以4 − 5i的共轭：
| 2 + 3i | × | 4 + 5i | = | 8 + 10i + 12i + 15i2 | |
| 4 − 5i | 4 + 5i | 16 + 20i − 20i − 25i2 |
因为 i2 = −1，所以：
| = | 8 + 10i + 12i − 15 | |
| 16 + 20i − 20i + 25 |
同类项相加（下面的 20i − 20i 约去了！）：
| = | −7 + 22i | |
| 41 |
把答案写成 a + bi 的格式：
| = | −7 | + | 22 | i | |
| 41 | 41 |
大功告成！
要做一点儿运算，但是可以做到的。
乘以共轭
又有捷径！
留意上面例子里在下面部分的运算：
(4 − 5i)(4 + 5i) = 16 + 20i − 20i − 25i2
中间的项约去了！
因为 i2 = −1，我们得到：
(4 − 5i)(4 + 5i) = 42 + 52
答案很简单
这就是个一般通用的公式：
(a + bi)(a − bi) = a2 + b2
做复数除法时，用这个公式可以省点时间：
例子：再做一遍
| 2 + 3i | |
| 4 − 5i |
把扇面和下面乘以 4 − 5i 的共轭：
| 2 + 3i | × | 4 + 5i | = | 8 + 10i + 12i + 15i2 | |||
| 4 − 5i | 4 + 5i | 16 + 25 | |||||
| = |
|
||||||
写成 a + bi 的格式：
| = | −7 | + | 22 | i | |
| 41 | 41 |
大功告成！
曼德勃罗集
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美丽的曼德勃罗集（见图）是基于复数的. 曼德勃罗集是把这个简单的方程式 z2+c（两个变量都是复数）的结果重复地代回 z 里的图。 颜色显示 z2+c 增长得多快，黑色表示它的值停留在一个范围内。 |
这是把曼德勃罗集放大后的图像 |
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| 这是上图的中间，再放大： |  |