复数乘法

复数是实数和虚数的组合：

实数是我们日常用的数.

例子：12.38、½、0、−2000

虚数的平方是个负数：

虚数平方是负数

"单位"虚数的平方等于 −1

i² = −1

例子：5i、−3.6i、i/2、500i

复数是实数和虚数的组合

例子：3.6 + 4i, −0.02 + 1.2i, 25 − 0.3i, 0 + 2i

乘法

乘复数：

第一个复数的每一部分都乘以
第二个复数的每一部分

想："首、外、内、尾"（去二项式乘法查看更多）：

	首： a × c 外： a × di 内： bi × c 尾： bi × di
(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²

像这样：

例子：(3 + 2i)(1 + 7i)

(3 + 2i)(1 + 7i)	= 3×1 + 3×7i + 2i×1+ 2i×7i
	= 3 + 21i + 2i + 14i²
	= 3 + 21i + 2i − 14	（因为 i² = −1）
	= −11 + 23i

再来一个例子：

例子：(1 + i)²

(1 + i)² = (1 + i)(1 + i)	= 1×1 + 1×i + 1×i + i²
	= 1 + 2i − 1	（因为 i² = −1）
	= 0 + 2i

捷径！

用这个规则：

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

例子：(3 + 2i)(1 + 7i) = (3×1 − 2×7) + (3×7 + 2×1)i = −11 + 23i

为什么这规则可行？

它不过是用"首外内尾"方法：

(a+bi)(c+di)	=	ac + adi + bci + bdi²	首外内尾方法
	=	ac + adi + bci − bd	（因为 i²=−1）
	=	(ac − bd) + (ad + bc)i	（合并同类项）

这就得到 (ac − bd) + (ad + bc)i 这个公式。

用这个公式比较快捷，但如果你忘了，就用“首外内尾”方法。

现在我们来看看在复数平面上乘法是怎样的。

复数平面

这是复数平面：

复数平面

它是复数的平面！

我们可以画一个复数，像 3 + 4i ：

位置是

向右（实轴） 3 单位，
向上（虚轴） 4 单位。

乘以 i

这是乘以 i的运作：

(3 + 4i) x i = 3i + 4i²

因为 i² = −1，我们得到：

3i + 4i² = −4 + 3i

酷的是……这和旋转一个直角（90°或 π/2）是相同的。

难道只是个巧合吗？

再试试乘以 i：

(−4 + 3i) x i = −4i + 3i² = −3 − 4i

再来一次：

(−3 − 4i) x i = −3i − 4i² = 4 − 3i

再来一次：

(4 − 3i) x i = 4i − 3i² = 3 + 4i

惊艳！每次乘以 i，图都旋转了一个直角，直至回到原来位置。

自己选一个负数来试试，这是很好的练习。

我们来具体看看角度。

极型

复数 3 + 4i：

同一复数，但

以极型表达：
（距离和角度）

复数 3 + 4i 可以表达为距离（5）和角度（0.927弧度）。

怎样转换：

例子：复数 3 + 4i

我们可以用直角坐标――极坐标转换:

r = √(x² + y²) = √(3² + 4²) = √25 = 5
θ = tan^-1 (y/x) = tan^-1 (4/3) = 0.927 (（保留3位小数）

我们也可以用极坐标――直角坐标转换：

x = r × cos( θ ) = 5 × cos( 0.927 ) = 5 × 0.6002... = 3 （够准了）
y = r × sin( θ ) = 5 × sin( 0.927 ) = 5 × 0.7998... = 4 （够准了）

我们经常把复数以极型写成

x + iy	=	r cos θ + i r sin θ
	=	r(cos θ + i sin θ)

"cos θ + i sin θ"经常被简写为 "cis θ"，所以：

x + iy = r cis θ

cis 是 cos θ + i sin θ 的简写

我们可以写：

3 + 4i = 5 cis 0.927

在某些领域，像电子， "cis" 是经常用到的！

平方

计算复数的平方，是把它乘以自己：

乘幅度：幅度 × 幅度 = 幅度²
加角度：角度 + 角度 = 2，所以把角度加倍

结果：幅度平方，角度加倍。

复数平面矢量 1+2i 平方是 -3+4i

例子：求 1 + 2i 的平方：

(1 + 2i)(1 + 2i) = 1 + 4i + 4i² = −3 + 4i

在图上角加倍了。

并且：

(1+2i) 的幅度 = √(1² + 2²) = √5
(−3+4i) 的幅度 = √(3² + 4²) = √25 = 5

所以也取了幅度的平方。

总的来说，一个复数：

r(cos θ + i sin θ)

取平方后成为：

r²(cos 2θ + i sin 2θ)

(幅度 r 取平方，角度 θ 加倍。）

以 "cis" 方式写：

(r cis θ)² = r² cis 2θ

棣莫弗

棣莫弗公式

数学家亚伯拉罕·棣莫弗发现了这个公式（指数n为整数）：

[ r(cos θ + i sin θ) ]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)

（幅度成为 rⁿ，角度成为 nθ。）

用 "cis" 方式来写：

(r cis θ)ⁿ = rⁿ cis nθ

复数平面 0-8i

例子：(1+i)⁶是什么

转换 1+i 为极型：

r = √(1² + 1²) = √2
θ = tan^-1 (1/1) = π/4

以 "cis" 格式写： 1+i = √2 cis π/4

指数是 6，r 便是 r⁶，θ 便是 6θ：

(√2 cis π/4)⁶ = (√2)⁶ cis 6π/4 = 8 cis 3π/2

幅度成为 8，角度成为 3π/2 （=270°）

也等于 0−8i（如图）

概要

用 "首外内尾" 来乘复数，
或用这公式：
(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
或用极型表达复数，然后乘幅度，加角度。
若指数是整数，可以用棣莫弗公式：
[ r(cos θ + i sin θ) ]ⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
极型 r cos θ + i r sin θ 经常被简写为 r cis θ

(1+i) (3+i)	=	1(3+i) + i(3+i)
	=	3 + i + 3i + i²
	=	3 + 4i − 1
	=	2 + 4i

复数乘法