解二次不等式
……和更多……
二次式
标准型的二次方程是这样的：
标准型的二次方程
(a、b 和 c可以是任何值，除了 a 不能是 0。）
这是一个等式 （=），但有时我们需要解 不等式，像这些：
| 符号 |
文字 |
例子e |
||
|---|---|---|---|---|
> |
大于 |
x2 + 3x > 2 |
||
< |
小于 |
7x2 < 28 |
||
≥ |
大于或等于 |
5 ≥ x2 − x |
||
≤ |
小于或等于 |
2y2 + 1 ≤ 7y |
||
解
解不等式和解方程非常相似……步骤大部分是相同的。
| 解方程时，我们尝试找 点，例如 在图中标签为 "=0"的 |
 |
| 但当我们解不等式时，
我们尝试找区间, 像图中标签为 "<0"的 |
步骤是这样：
- 解 "=0"的点
- 在 "=0"的点之间是区间，在区间里，式子的值是
- 大于零（>0），或
- 小于零（<0）)
- 然后找一点来试试（是 >0 或是 <0）
例子：
例子：x2 − x − 6 < 0
x2 − x − 6 有这些简单的因式（我不想弄得太复杂！）：
(x+2)(x−3) < 0
首先，找在什么地方等于零：
(x+2)(x−3) = 0
若x = −2 或 x = +3，式子的值是等于零
因为若 x = −2，则 (x+2) 等于是零
，同时
若 x = +3，则 (x−3) 等于零
所以在 −2 和 +3 之间，式子的值一定是
- 大于 零，或
- 一定是小于零
我们暂时不知道是哪一个!
我们在区间里选一个值来试试：
当 x=0： x2 − x − 6
= 0 − 0 − 6
= −6
所以在 −2 和 +3 之间，式子是 小于零。
我们正是找这个区间，所以……
在区间 (−2, 3)，x2 − x − 6 < 0
注意：在区间 (−∞,−2) 和 (3, +∞)，x2 − x − 6 > 0
这是 x2 − x − 6的图：
|
 |
|
如果不经过零呢？
 |
这是 x2 − x + 1 的图 没有"=0"的点！ 其实这更容易！ |
因为线不和 y=0 交叉，它一定是：
所以我们只需测试一个值 （比方 x=0） 来看看是大于零还是小于零。 |
|
"实"例
特技演员将会从20米高的建筑物跳下来。
高速摄像机需要在他离地15米和10米之间拍摄。
摄像机需要在什么时候拍摄？
我们可以用以下的公式来计算距离和时间：
d = 20 − 5t2
- d = 离地距离 （米），
- t = 起跳后时间 （秒）
（注意：若你对这个公式有兴趣，它是从 d = d0 + v0t + ½a0t2 简化而来，其中 d0=20， v0=0， a0=−9.81 是重力加速度。）
我们现在开始。
首先，画一个草图：
 |
我们需要的距离是从 10米 到 15米: 10 < d < 15 d 的公式是： 10 < 20 − 5t2 < 15 |
好了，来解它！
先从每边减 20:
−10 < −5t2 <−5
每边乘以 −(1/5)。我们乘以负数，所以不等式会改变方向……去解不等式看看为什么。
2 > t2 > 1
要写得整齐一点，较小的数应该在左边，较大的在右边。把它们换边（要确保不等号的方向仍然保持正确）：
1 < t2 < 2
最后，取平方根（因为所有的值都是正数，所以我们可以这样做）：
√1 < t < √2
我们终于可以告诉摄影队：
"从起跳后 1.0 到 1.4秒之间拍摄"
比二次更高的次数
同一概念可以帮我们解更复杂的不等式：
例子：x3 + 4 ≥ 3x2 + x
首先，写成标准型：
x3 − 3x2 − x + 4 ≥ 0
这是 三次方程 （最大指数是立方，x3)，很难解，所以我们 画图：
式子等于零的点大约在：
- −1.1
- 1.3
- 2.9
在图上我们也可以看到大于（或等于）零的区间：
- 从 −1.1 到 1.3，和
- 从 2.9 以后
以区间记法来写，这是：
大约： [−1.1, 1.3] U [2.9, +∞)