多项式:正负号规则

用特别的方法来告诉你多项式有多少个正根和负根

多项式看起来像这样:

多项式例子
多项式例子
这个多项式有 3 项

多项式有 "根" (零点)。在这些点,多项式的值为 0

多项式根
根是在 x=2x=4
这个多项式有 2 个根, 都是正数 (+2 和 +4))

有时我们不知道根在哪里,但我们可以算出有几个正和负的根……

……只需要数数正负号改变多少次
(从正到负或从负到正)

 

例解:

例子:4x + x2 - 3x5 - 2

有几个正根?

首先把多项式的项以从大到小的指数排列 ("零"项可以不理,所以缺了 x4x3 都没关系):

-3x5 + x2 + 4x - 2

接着,数数正负号改变了多少次(从正到负或从负到正):

正负号规则

正负号改变的次数便是正根个数的上限

在这例子里,正负号改变了2次,所以最多只有2个正数的根(或少于2个)。

所以,这个多项式可以有 2、1或 0 个正根,对不对?

但其实不会有1个正根……下面会解释......

复根

可能有复数的根。

复数是由 实数虚数组成的数

复数

但是……

复根一定是成双成对的

共轭复数对

成双成对?对,所以可能有:

再精确一些

若有复根,正根的个数便会减少 2个(或 4个、或 6个……),换句话说,减少一个偶数个数的根。

在上面的例子,若没有 2个正根,便可能会有 0个正根:

正根的个数是 20

这是一般的规则:

正根的个数等于正负号改变的次数或比它少一个偶数的数

 

例子:若最多有5个正根,那么便会有 531 个正根。

有几个负根?

求有几个根也是用差不多的算法……

……但首先我们要用 "-x" 来代替"x",像这样:

正负号规则

然后算出每项你正确的正负号:

我们得到这个:

+3x5 + x2 - 4x - 2

窍门是只有奇指数,像 1、3、5,才会改变正负号。

接下来我们照样数正负号改变的次数:

正负号规则

只有一个改变,所以有 1 个负根。.

但负根的个数可能会更少,因为可能有复根!

慢着……根的个数只能以偶数减少……但 1 不能再以偶数减少了……故此 1 个复返根 是唯一的答案。

根的总数

代数基本定理这个网页上,我们说多项式的根的数量是 等于它的次数的 (次数是多项式最高的指数)。

正负号规则

次数是 5, 所以我们知道 总共有 5 个根

我们目前知道的资料

我们知道以下的资料:

最后的结论是:

一定要有常数项

最后,一个重点:

多项式一定要有常数项(像 "+2" 或 "-5")才能用正负号规则

若多项式没有常数项,你便要把x分解出来,直到有常数项为止。

例子:2x4 + 3x2 - 4x

没有常数项!把 "x" 分解出来:

x(2x3 + 3x - 4)

这代表 x=0 是个根。

现在用 "正负号规则" 来分析:

2x3 + 3x - 4

数正负号的改变来求正根的数量:

正负号规则
只有一个正负号改变,
所以有 1 个正根

负根(把奇数指数的项改变正负号后):

正负号规则
没有正负号改变
所以没有负根

次数是 3,所以总共有 3 个根。只有一个可能:

 

现在回来看原来的问题:

2x4 + 3x2 - 4x

有:

 

 

历史附注:正负号规则最初于公元为勒內·笛卡兒所发表,所以有时亦被称为 笛卡儿正负号规则