等比数列及它的和

数列

序列是一组顺序排列的东西,若这些东西是数,我们便称之为数列。

数列

等比数列

等比数列里,每一项和下一项的比是个常数

例子:

2,4,8,16,32,64,128,256……/font>

每项和下一项的比是 2。

除了第一项外,每项是上一项乘以2

 

等比数列的一般写法是:

{a,ar,ar2,ar3…… }

其中:

 

例子: {1,2,4,8……}

这个数列从 1 开始,然后每项加倍,所以

数列是:

{a,ar,ar2,ar3…… }

= {1,1×2,1×22,1×23, ...…… }

= {1,2,4,8…… }

 

但留意,r 不能是 0:

规则

我们可以用以下的规则来求任何一项

xn = ar(n-1)

(用 "n-1",因为首项是 ar0

 

例子:

10,30,90,270,810,2430,……

每项和下一项的比是 3。

ar 是:

规则是:

xn = 10 × 3(n-1)

所以,第 4 项是:

x4 = 10×3(4-1) = 10×33 = 10×27 = 270

10 项是:

x10 = 10×3(10-1) = 10×39 = 10×19683 = 196830

 

等比数列也可以有越来越小的项:

例子:

4,2,1,0.5,0.25……

每项和下一项的差是 0.5(一半)。

规则是 xn = 4 × (0.5)n-1

"几何"数列

等比数列也叫"几何数列"。为什么?

因为数列好像几何维数的扩大:

几何数列 一条线是 1 维,长度是 r
平方型是 2 维,面积是 r2
正方体型是 3 维,体积是 r3
。。。等。。。(在数学里可以有 4 维或更高)。

 

等比数列的和:等比级数

我们用以下的公式把等比数列的项加起来。

加:

a + ar + ar2 + ... + ar(n-1)

每项是 ark,k 从 0 开始,到 n-1 为止

公式是:

总和符号

a 是首项
r 是项与项之间的 "公比"
n 是项的个数

那奇怪的符号是什么?总和符号

总和符号 意思是 "加起来"

在符号的下面和上面是开始值和结束值:

总和符号

意思是: "以 n 从 1 到 4,把 n 加起来。答案=10

使用公式很简单……只需 "代入" arn 的值

例子: 把以下的等比数列的头 4 项加起来

10、30、90、270、810、2430……

每项和下一项的比差是 3。

 

arn 是:

所以:

总和符号

变成:

总和符号

自己来检验:

10 + 30 + 90 + 270 = 400

在这例子,把它加起来就可以,以为只有 4 项。但如果有 50 项……用公式就方便多了。

使用公式

让我们来看看怎样使用这个公式:

例子:棋盘上的米

棋盘

二进制数字这页,我们提及棋盘上的米的例子。问题是:

把米这样放到棋盘上:

……每个格子里的米是上一个格子的 两倍……

……棋盘上总共有多少颗米?

已知:

所以:

总和符号

变成:

总和符号

 

= (1-264) / (-1) = 264 - 1

= 18,446,744,073,709,551,615

和在 二进制数字 这页算出来的一样。(真巧!)

再举个例,这次 r 小于 1:

例子:把以下的等比数列的头 10 项加起来(每项是上一项的一半):

{ 1/2,1/4,1/8,1/16……}

arn 是:

所以:

总和符号

变成:

总和符号

离 1 很近。

(问题:n 越来越大会怎样?)

为什么公式是这样的?

我们来看看为什么公式是这样的,我们会用一个有趣的"技巧"。

首先,以 "S"为数列的和:   S =   a + ar + ar2 + …… + ar(n-2)+ ar(n-1)
       
接下来,把 S 乘以 r   S·r =   ar + ar2 + ar3 + …… + ar(n-1) + arn

留意到 SS·r 很相似吗?

把它们相减

证明

哈!中间的项差不多全消去了。
(酷!)

S·rS 减去,结果是:

S − S·r = a − arn

重排来求 S

分解因数 Sa   S(1r) = a(1rn)
     
除以 (1-r)   S = a(1rn)/(1r)

这就是我们要导出的公式(厉害!):

总和符号

 

无穷等比级数

n 趋近无穷大时会怎么样?

……若 r 小于 1,rn 会趋近 ,结果是:

总和符号

注意:若 r 是 1 或大于 1(或小于 -1),以上便不管用:

r 必须是在 -1 和 1 之间(但不包括 1 和 -1)

并且,r 也不能是 0,因为数列会变成 {a,0,0……},不是等比数列了

再看看以上的例子:

例子:把每项小一半的数列的所有的项加起来:

{ 1/2,1/4,1/8,1/16…… }

已知:

所以:

总和符号

= ½ × 1 / ½ = 1

对了……(1/2)+(1/4)+(1/8)+……

还不相信?看看这正方形:

(1/2)+(1/4)+(1/8)+……加起来

……我们得到整个正方形!

  1/2 + 1/4 + ……

循环小数

在另一个网页中我们问:"0.999……是不是等于 1?"我们来算算:

例子:计算 0.999……

循环小数可以写成这样:

总和符号

现在可以用公式:

总和符号

 

惊艳!0.999…… 真的等于 1。

 

……等比数列和它的和非常有用。