等比数列及它的和
数列
序列是一组顺序排列的东西，若这些东西是数，我们便称之为数列。
等比数列
在等比数列里，每一项和下一项的比是个常数。
例子：
| 2，4，8，16，32，64，128，256……/font> |
每项和下一项的比是 2。
除了第一项外，每项是上一项乘以2。
等比数列的一般写法是：
{a，ar，ar2，ar3…… }
其中：
- a 是首项，
- r 是项与项之间的比 （叫 "公比"）
例子： {1，2，4，8……}
这个数列从 1 开始，然后每项加倍，所以
- a=1 （首项）
- r=2 （"公比"：每项加倍）
数列是：
{a，ar，ar2，ar3…… }
= {1，1×2，1×22，1×23, ...…… }
= {1，2，4，8…… }
但留意，r 不能是 0：
- 若 r=0，数列便是 {a，0，0……}，不是等比数列了
规则
我们可以用以下的规则来求任何一项：
xn = ar(n-1)
（用 "n-1"，因为首项是 ar0）
例子：
| 10，30，90，270，810，2430，…… |
每项和下一项的比是 3。
a 和 r 是：
- a = 10 （首项）
- r = 3 （"公比"）
规则是：
xn = 10 × 3(n-1)
所以，第 4 项是：
x4 = 10×3(4-1) = 10×33 = 10×27 = 270
第 10 项是：
x10 = 10×3(10-1) = 10×39 = 10×19683 = 196830
等比数列也可以有越来越小的项：
例子：
| 4，2，1，0.5，0.25…… |
每项和下一项的差是 0.5（一半）。
规则是 xn = 4 × (0.5)n-1
"几何"数列
等比数列也叫"几何数列"。为什么？因为数列好像几何维数的扩大：
 |
一条线是 1 维，长度是 r |
| 平方型是 2 维，面积是 r2 | |
| 正方体型是 3 维，体积是 r3 | |
| 。。。等。。。（在数学里可以有 4 维或更高）。 |
等比数列的和：等比级数
我们用以下的公式把等比数列的项加起来。
加：
a + ar + ar2 + ... + ar(n-1)
每项是 ark，k 从 0 开始，到 n-1 为止
公式是：
a 是首项
r 是项与项之间的 "公比"
n 是项的个数
使用公式很简单……只需 "代入" a、r 和 n 的值
例子： 把以下的等比数列的头 4 项加起来
| 10、30、90、270、810、2430…… |
每项和下一项的比差是 3。
a、r 和 n 是：
- a = 10（首项）
- r = 3（"公比"）
- n = 4（加头 4 项）
所以：
变成：
自己来检验：
10 + 30 + 90 + 270 = 400
在这例子，把它加起来就可以，以为只有 4 项。但如果有 50 项……用公式就方便多了。
使用公式
让我们来看看怎样使用这个公式：
例子：棋盘上的米
在二进制数字这页，我们提及棋盘上的米的例子。问题是：
把米这样放到棋盘上：
- 1 颗米在第一个格子，
- 2 颗米在第二个格子，
- 4 颗米在第三个格子，
- 依此类推……
……每个格子里的米是上一个格子的 两倍……
……棋盘上总共有多少颗米？
已知：
- a = 1（首项）)
- r = 2（每项大一倍）
- n = 64（棋盘有 64 个格子）
所以:
变成：
= (1-264) / (-1) = 264 - 1
= 18,446,744,073,709,551,615
和在 二进制数字 这页算出来的一样。（真巧！）
再举个例，这次 r 小于 1：
例子：把以下的等比数列的头 10 项加起来（每项是上一项的一半）：
{ 1/2，1/4，1/8，1/16……}
a、r 和 n 是：
- a = ½（首项）
- r = ½（每次小一半）
- n = 10（加 10 项）
所以：
变成：
离 1 很近。
（问题：n 越来越大会怎样？）
为什么公式是这样的？
我们来看看为什么公式是这样的，我们会用一个有趣的"技巧"。
| 首先，以 "S"为数列的和： | S = | a + ar + ar2 + …… + ar(n-2)+ ar(n-1) | |
| 接下来，把 S 乘以 r： | S·r = | ar + ar2 + ar3 + …… + ar(n-1) + arn |
留意到 S 和 S·r 很相似吗？
把它们相减！
哈！中间的项差不多全消去了。
（酷！）
把 S·r 从 S 减去，结果是：
S − S·r = a − arn
重排来求 S：
| 分解因数 S 和 a： | S(1−r) = a(1−rn) | |
| 除以 (1-r)： | S = a(1−rn)/(1−r) |
这就是我们要导出的公式（厉害！）：
无穷等比级数
当 n 趋近无穷大时会怎么样？
……若 r 小于 1，rn 会趋近 零，结果是：
注意：若 r 是 1 或大于 1（或小于 -1），以上便不管用：
r 必须是在 -1 和 1 之间（但不包括 1 和 -1）
并且，r 也不能是 0，因为数列会变成 {a，0，0……}，不是等比数列了
再看看以上的例子：
例子：把每项小一半的数列的所有的项加起来：
{ 1/2，1/4，1/8，1/16…… }
已知：
- a = 1/2（首项）
- r = 1/2（每项小一半）
所以：
= ½ × 1 / ½ = 1
对了……(1/2)+(1/4)+(1/8)+……
还不相信？看看这正方形： 把(1/2)+(1/4)+(1/8)+……加起来 ……我们得到整个正方形! |
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循环小数
在另一个网页中我们问："0.999……是不是等于 1？"我们来算算：
例子：计算 0.999……
循环小数可以写成这样：
现在可以用公式：
惊艳！0.999…… 真的等于 1。
……等比数列和它的和非常有用。