数列
在 常见的数规律 的网页里有数列的简单介绍.
什么是数列？
序列是一组顺序排列的东西，若这些东西是数，我们便称之为数列。
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无穷或有穷
无穷延续的数列叫 无穷数列，
否则叫 有穷数列
例子：
{1，2，3，4……} 是一个很简单的数列（也是个无穷数列)
{20，25，30，35……} 也是个无穷数列
{1，3，5，7} 是头四个奇数的数列（是个有穷数列)
{4，3，2，1} 是 4 倒数到 1
{1，2，4，8，16，32……} 是无穷数列，每一项是上一项的双倍
{a，b，c，d，e} 是头五个英语字母的序列，按先后次序排列
{f，r，e，d} 是 "fred" 这个英语名字里的字母的序列
{0，1，0，1，0，1……} 是 0 和 1 的 交错 数列（交错的次序）
顺序
数列的项是"顺序"的，但这次序可以是顺任何次序：向前，向后，交错……任何次序都可以！
像集合
数列和集合相似，除了：
- 项是顺序的 （在集合里次序不重要）
- 同一个值可以出现多于一次（再集合里只能出现一次）
例子：{0，1，0，1，0，1……} 是交错排列的 0 和 1 的 数列。
项的集合 是 {0、1}
记法
| 数列与集合用同样的记法： 列出每个项，用逗号隔开， 全部放在大括号里。 |
{3，5，7……} |
大括号 { } 也叫 "集合括号" 或 "花括号"。
一个规则
数列通常有一个 规则，就是计算每一项的值的方法。
例子：数列 {3, 5, 7, 9……} 从 3 开始，每项加 2：
公式
用 "从 3 开始，每项加 2" 来计算以下的项并不合适：
- 第 10 项，
- 第 100 项，或
- 第 n 项，n 可以是任何项的序数。
所以我们需要一个公式，公式里含有 "n" （n 可以是任何项的序数）。
那么， {3，5，7，9……} 的规则是什么？
数列每项以 2 增大，所以我们可以推测规则是像 "2 乘 n" （"n" 项的序数）。我们来检验：
检验规则：2n
| n | 项 | 检测规则 |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 2n = 2×1 = 2 |
| 2 | 5 | 2n = 2×2 = 4 |
| 3 | 7 | 2n = 2×3 = 6 |
差不多了，但……每项都 小 了 1。我们把它改成：
检测规则：2n+1
| n | 项 | 检测规则 |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 2n+1 = 2×1 + 1 = 3 |
| 2 | 5 | 2n+1 = 2×2 + 1 = 5 |
| 3 | 7 | 2n+1 = 2×3 + 1 = 7 |
行了！
所以我们不用冗长的说："从 3 开始，每项加 2"，我们这样写：
2n+1
我们现在可以来计算第 100 项了：
2 × 100 + 1 = 201
很多规则
可是，我们可以找到多个规则来配合任何数列。
例子：数列 {3，5，7，9……}
上面我们找到 {3，5，7，9……} 的一个规则：2n+1
用这个规则，数列是 {3，5，7，9，11，13……}
有其他的规则吗？
这个："没有 1 在里面的奇数"：
数列变成： {3，5，7，9，23，25……}
完全不同的数列！
我们还可以找到很多不同的规则来配合 {3, 5, 7, 9, ...}。对不对？
所以最好说："数列的一个规则是"，而不要说："数列的规则是" （除非我们知道那规则是唯一的正确规则）。
记法
为简单起见，我们通常用这个格式：
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例子：我们这样来写 "第 5 项"：x5
所以{3，5，7，9……}的一个规则可以写成：
xn = 2n+1
计算第 10 项便是这样写：
x10 = 2n+1 = 2×10+1 = 21
这样试着计算 x50 （第 50 项）。
又一个例子：
例子：求这数列的头 4 项：
{an} = { (-1/n)n }
算法：
- a1 = (-1/1)1 = -1
- a2 = (-1/2)2 = 1/4
- a3 = (-1/3)3 = -1/27
- a4 = (-1/4)4 = 1/256
答案：
{an} = { -1，1/4，-1/27，1/256……}
特别数列
我们现在来看看一些特别的数列和它们的规则。
等差数列
在等差数列里， 每一项和下一项的差是个常数。
换句话说，每次加个等值，直到永远，……
例子：
| 1，4，7，10，13，16，19，22，25…… |
每项和下一项的差是 3。
规则是 xn = 3n-2
等差数列的一般写法是：
{a，a+d，a+2d，a+3d……}
其中：
- a 是首项，
- d 是项与项之间的差（叫"公差"）
规则是：
xn = a + d(n-1)
（用 "n-1"，因为在第一项里没有 d）。
等比数列
等比数列 的项是上一项乘以一个常数。
例子：
| 2，4，8，16，32，64，128，256…… |
项与项之间的比是 2。
规则是 xn = 2n
等比数列的一般写法是：
{a，ar，ar2，ar3…… }
其中：
- a 是首项，
- r 是项与项之间的比（叫"公比"）
注意：r 不能是 0。
- 若 r=0，数列是 {a，0，0……}。这不是等比数列
规则是：
xn = ar(n-1)
（用 "n-1"，因为第一项是 ar0）
三角数
| 1，3，6，10，15，21，28，36，45…… |
三角数列 是基于排列为三角形的点图案。
在三角形的底多加一行后，点的个数便是数列的下一项：
但这个规则比较简单：
xn = n(n+1)/2
例子：
- 第 5 个三角数是 x5 = 5(5+1)/2 = 15，
- 第 6 个是 x6 = 6(6+1)/2 = 21
平方数
| 1，4，9，16，25，36，49，64，81…… |
每项的值是项的序数的平方。
规则是 xn = n2
立方数
| 1，8，27，64，125，216，343，512，729…… |
每项的值是项的序数的立方。
规则是 xn = n3
斐波那契数列
这是 斐波那契数列：
| 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34…… |
每项是前两项的和：
- 2 是其前两项的和：(1+1)
- 21 是其前两项的和：(8+13)
- 依此类推……
规则是 xn = xn-1 + xn-2
这个规则有意思，因为它是基于前两项的值。
这种规则叫 递归公式。
斐波那契数列
| n = | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | …… |
| xn = | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | 89 | 144 | 233 | 377 | …… |
例子：第"6"项是这样计算的：
x6 = x6-1 + x6-2 = x5 + x4 = 5 + 3 = 8
级数与部分和
熟悉数列后，接下来便是去了解怎样把数列加起来。浏览这里来了解部分和。
例子：奇数
数列：{1、3、5、7……}
级数1 + 3 + 5 + 7 + ……
头 3项的部分和：1 + 3 + 5