分部积分法
分部积分法是一个特别的积分方法，最适用于积分两个函数的积，但在其他的情况下也会有用。
下面会有很多例子，但我们先来看看法则：
∫u v dx = u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx
- u 是函数 u(x)
- v 是函数 v(x)
图：
我们现在看一个例子：
例子：∫x cos(x) dx 是什么？
这是 x 乘以 cos(x)，所以应该可以用分部积分法。
我们需要先选择哪个函数为 u 和 v：
- u = x
- v = cos(x)
格式和法则里一样了：∫u v dx
求 u 的积分：u' = x' = 1
求 v 的积分：∫v dx = ∫cos(x) dx = sin(x) （见 积分法则）
放进法则里：
简化，然后解：
步骤是：
- 选 u 和 v
- 求 u 的积分：u'
- 求 v 的积分：∫v dx
- 代入 u, u' and ∫v dx 到：u∫v dx −∫u' (∫v dx) dx
- 简化，然后解
用文字写出来，∫u v dx 是：
（u 积分 v） 减 （u 的倒数，v 的积分）的积分
再看几个例子：
例子： ∫ln(x)/x2 dx 是什么？
先选 u 和 v：
- u = ln(x)
- v = 1/x2
求 u 的积分：ln(x)' = 1/x
求 v 的积分：∫1/x2 dx = ∫x-2 dx = −x-1 = -1/x （基于 幂次方法则）
放进法则里：
简化：
例子：∫ln(x) dx 是什么？
只有一个函数！我们怎样选 u 和 v ?
没问题！我们选 v 为 "1"：
- u = ln(x)
- v = 1
求 u 的积分：ln(x)' = 1/x
求 v 的积分：∫1 dx = x
放进法则里：
简化：
例子： ∫ex x dx 是什么？
选 u 和 v：
- u = ex
- v = x
求 u 的积分：(ex)' = ex
求 v 的积分： ∫x dx = x2/2
放进法则里：
糟了！越来越复杂！
如果我们选不同的 u 和 v 呢？
例子：∫ex x dx （续）
选不同的 u 和 v：
- u = x
- v = ex
求 u 的积分：(x)' = 1
求 v 的积分：∫ex dx = ex
放进法则里：
简化：
故事的寓意是：小心选 u 和 v！
选一个微分后比较简单的 u 和积分后不会更复杂的 v。
可以用英语字 I LATE 来帮助记忆。按以下次序来选 u：
- I: (I)nverse 反三角函数，例如 sin-1(x)、cos-1(x)、tan-1(x)
- L: (L)ogarithmic 对数函数，例如 ln(x)、log(x)
- A: (A)）lgebraic 代数函数，例如 x2、 x3
- T: (T)rigonometric 三角函数，例如 sin(x)、cos(x)、tan (x)
- E: (E)xponential 指数函数，例如 ex、3x
最后来看一个（复杂的）例子：
例子：∫ex sin(x) dx
选 u 和 v：
- u = sin(x)
- v = ex
求 u 的积分：sin(x)' = cos(x)
求 v 的积分：∫ex dx = ex
放进法则里：
乍看更加复杂，但别着急！我们可以再来一次分部积分法：
选 u 和 v：
- u = cos(x)
- v = ex
求 u 的积分：cos(x)' = -sin(x)
求 v 的积分：∫ex dx = ex
放进法则里：
简化：
现在每边都有同一个积分……
……把右边的搬到左边：
简化：
脚注："分部积分法" 是从哪里来的？
分部积分法是基于 导数的积法则：
求每边的积分，然后重排：
有些人喜欢上面这个格式，但我喜欢再求 v 的积分，使得左边简单一点：