梅花机解释

梅花机又称为 "高尔顿板" （以弗朗西斯·高尔顿爵士命名）是一个以三角形交错排列的垂直钉子列阵（来玩玩！）

在球上端的钉子放下小球，小球落下时会碰到钉子，最终落到底端的格子里。

当小球碰到钉子后会向左或向右落下。

标准正态分布小

有趣的是：当碰到钉子时向左和向右落下的概率是相等时，在低端的小个子里的小球会形成典型的标准正态分布形状。

（如果概率不是相等的话，形状便会是 "偏斜" 的标准正态分布。）

公式

我们可以计算有关的概率！

这样想：如果小球有k次碰到钉子时向左落下，它便会落到离右端 k个位置的格子里。

在这例子里，小球向左落下了两次，其他的都是向右。小球最后落到离右端两个位置的格子里。

一般来说，若梅花机有 n行钉子，则小球可以在碰到钉子时向左落下 k次和向右落下 (n-k)次。

两边的概率通常都是 50%，但有时也可以是 60%-40% 等。

设向左落下的概率为 p，向右落下的概率便是 (1-p)，我们便可以计算任何一条小球经过的路线的概率：

		小球向钉子的左边落下的概率是 p，向左落下 k次的概率是：p^k
		其他 (n-k)次的概率是：(1-p)^(n-k)
		所以这条路线的概率是 p^k(1-p)^(n-k)

但可以有很多这样的路线！例如，向左落下可以是在第一行和第二行，或第一行和第三行，或第二行和第七行等等。

我们可以把全部的路线都写下来（LLRRR……、LRLRR……、LRRL……），但有一个更容易的方法。

我们可以用杨辉三角。实际上，梅花机就好像一个杨辉三角，不过用钉子而不用数字。在每一个钉子的位置的数就是可以到达那钉子的路线的个数。是不是很奇妙？

我们也可以用组合学里的这个公式：

二项 n取k = n!/k!(n-k!)

通常这是叫 "n取k"，写成 C(n,k)。

它是从n物中，不计较次序取k物的不同方式的个数。

注意："!" 的意思是 "阶乘"，例如 4! = 1×2×3×4 = 24

放在一起，最后的公式是：

f(k;n,p) = (n取k) p^k (1-p)^(n-k)
（这是二项分布的公式。）

10行钉子：(n=10)，向左落下的概率是 0.5 （p=0.5），小球跌到从右端向左第3个格子的概率 （k=3） 是：

f(3;10,0.5) = (10取3) 0.5^3 (1-0.5)^(10-3)
并且：

(10取3) = 10! / 3!(10-3)! = 120
（就是说，小球可以沿 120条不同的路线
落到从右端的第3个格子里。）

所以：

我们可以为 行数=10，概率=0.5 做一个列表：

当然，这是随机的，所以如果你真的去做，结果可能会和这个理论结果不相同。

概率是 0.8，列表便是这样：

放 100（或更多）个小球进梅花机来看看得到什么结果。研发这个软体时我做过很多次，但我从来没有得到过理论结果，不过通常都是非常接近理论结果的。祝你好运！