二项分布

"二项" 在这里的意思是关于有"二"个 …… …… 结果或部分的事物（像自行车）。

		抛硬币： 结果是正面（H），还是 反面（T）
我们说：硬币正面向上（H）的概率是 ½ 反面向上（T）的概率是 ½

	掷骰子： 结果是四 …… …… 吗？
我们说：四 的概率是 1/6 （六面里有一面是四）。 不是四的概率是 5/6 （六面里有五面不是四）

来抛硬币！

抛一个公平的硬币三次 …… 结果是两个正面的概率是多少？

抛一个公平的硬币三次（H 是正面， T 是反面）可以有 8 个结果：

HHH
HHT
HTH
HTT
THH
THT
TTH
TTT

我们想要的是哪些结果？

"两个正面" 可以是任何次序： "HHT"、"THH" 和 "HTH" 都有两个正面（和一个反面）。

所以 3个结果有 "两个正面"。

每个结果的概率是多少？

每个结果的可能性是一样的，一共有 8 个可能，所以每个结果的概率是 1/8

所以结果是"两个正面"这个事件的概率是：

需要的 结果		每个结果的 概率
3	×	1/8	=  3/8

我们来计算所有的概率：

计算是这样的（P 的意思是 "概率"）：

• P(三个正面) = P(HHH) = 1/8
• P(两个正面) = P(HHT) + P(HTH) + P(THH) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
• P(一个正面) = P(HTT) + P(THT) + P(TTH) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8
• P(没有正面) = P(TTT) = 1/8

我们可以用 随机变量 X = "抛 3次硬币里结果是正面的次数"：

• P(X = 3) = 1/8
• P(X = 2) = 3/8
• P(X = 1) = 3/8
• P(X = 0) = 1/8

我们也可以画个 柱形图:

图是对称的！

做个公式

好 …… 抛 9次硬币里得到 5个正面 的可能性是多少 …… 把全部结果 （512） 写下来要花很多花时间！

我们还是做个公式吧。

 

在上面的例子里，我们怎样可以得到 1、3、3 和 1 这些值呢？

这些值是 杨辉三角 的第三行 …… ！   我们可以用一个公式来计算这些值吗？

可以的，像这样：
		n = 总数 k = 我们想求的数
通常这个是叫 "n取k"。你可去 组合与排列 来了解更多。 注意： "!" 的意思是 "阶乘"，例如 4! = 1×2×3×4 = 24

学以致用：

 

现在我们用这个公式来解一个比较难的问题：

偏差！

在上面讲的情况里，成功和失败的可能性是相同的。

可是，当硬币有偏误（不公平的硬币）时，一面的可能性便会大于另一面。

我们画个 树图：

图中突出显示了有 "两个鸡肉" 的结果。

注意所有 "两个鸡肉" 的概率全是 0.147，因为每次都是把两个 0.7 和一个 0.3 相乘。

我们可以用公式来求 0.147 这个值吗？公式里需要有 "两个 0.7 和一个 0.3"

• 0.7 是我们想要的结果的概率，称它为 p
• 2 是我们想要的结果的个数，称它为 k

并且

• 其他的结果的概率是：1-p
• 一共有 n 个结果
• 其他的结果的个数是：n-k

所以所有的结果一同发生的概率是：

p^k(1-p)^(n-k)

 

好了，做了这么多，其实我们已经知道这个答案了，不过现在我们可以解比较复杂的问题了。

结合起来

我们知道怎样去求数量：

n!

k!(n-k)!

还有每个结果的概率：

p^k(1-p)^(n-k)

把它们相乘：

重要提示：

• 试验是独立的，
• 每个试验只有两个可能结果，
• 每个试验里的 "成功" 概率是不变的。

梅花机

 

来玩玩 梅花机 （然后去阅读 梅花机解释）来更多了解二项分布。

掷骰子

掷一个公平的骰子四次。求得到以下结果的概率：

• 0 个二点
• 1 个二点
• 2 个二点
• 3 个二点
• 4 个二点

n=4, p = P(二点) = 1/6

X 是这个随机变量："掷四次骰子里得到二点的次数"。

把 x = 0 到 4 代入到公式里：

P(n取k) =	n!	pk(1-p)(n-k)
	k!(n-k)!

像这样（确到 4个小数位）：

• P(X = 0) = (4!/0!4!) × (1/6)⁰(5/6)⁴ = 1 × 1 × (5/6)⁴ = 0.4823
• P(X = 1) = (4!/1!3!) × (1/6)¹(5/6)³ = 4 × (1/6) × (5/6)³ = 0.3858
• P(X = 2) = (4!/2!2!) × (1/6)²(5/6)² = 6 × (1/6)² × (5/6)² = 0.1157
• P(X = 3) = (4!/3!1!) × (1/6)³(5/6)¹ = 4 × (1/6)³ × (5/6) = 0.0154
• P(X = 4) = (4!/4!0!) × (1/6)⁴(5/6)⁰ = 1 × (1/6)⁴ × 1 = 0.0008

总结："掷 4次，有 48% 的机会没有二点、39% 的机会有 1个二点、12% 的机会有 2个二点、1.5% 的机会有 3个二点和小小的 0.08% 的机会全部的投掷都是二点（机会很小，但不是不可能！）"

在这个例子里，柱形图不是对称的：

不是对称的！

图是偏斜的，因为 p 不是 0.5

 

运动自行车

你的公司制造运动自行车。90% 的运动自行车通过最后质量检查（10% 不通过，需要修补）。

下四个质量检查的预期平均值 和预期方差 是多少？?

首先求所有的概率。

• n = 4,
• p = P(通过) = 0.9

X 是代表 "在四个质量检查里通过的个数" 的随机变量

把 x = 0 到 4 代入到公式里：

P(n取k) =	n!	pk(1-p)(n-k)
	k!(n-k)!

像这样：

• P(X = 0) = (4!/0!4!) × 0.9⁰0.1⁴ = 1 × 1 × 0.0001 = 0.0001
• P(X = 1) = (4!/1!3!) × 0.9¹0.1³ = 4 × 0.9 × 0.001 = 0.0036
• P(X = 2) = (4!/2!2!) × 0.9²0.1² = 6 × 0.81 × 0.01 = 0.0486
• P(X = 3) = (4!/3!1!) × 0.9³0.1¹ = 4 × 0.729 × 0.1 = 0.2916
• P(X = 4) = (4!/4!0!) × 0.9⁴0.1⁰ = 1 × 0.6561 × 1 = 0.6561

总结："在下四个质量检查里，只有小小的 0.01% 机会没有自行车通过检查、0.36% 的机会有 1辆通过、5% 的机会有 2辆通过、29% 的机会有 3辆通过和 66% 的机会所有有都通过。"

平均、方差和标准差

我们来求运动自行车质量检查的 平均、方差和标准差。

这些都有相当简单的公式。证明这些公式有点复杂，但公式是管用的！

平均值，也叫 "期望值"，是：

μ = np

方差的公式是：

方差：σ² = np(1-p)

标准差是方差的平方根：

σ = √(np(1-p))

 

 

总结