超越数

超越数

若一个数不是代数数，它便是超越数

超越数的例子包括π 和 e。

代数数

什么是代数数？

所以超越数不是这样的数。但是，我们怎样可以找到超越数呢？

刘维尔数

在公元 1844年，约瑟夫·刘维尔发现了这个数：

	= 0.11000100000000000000000100……
	（在第 n! 个小数位的数字是 1，其他小数位是 0.）

刘维尔数是个很有趣的数，因为：

• 它是无理数，
• 它不是任何多项方程的根，所以不是代数数。

约瑟夫·刘维尔发现了第一个超越数。

这个数被命名为刘维尔常数。它是个刘维尔数。

更多超越数

直至公元 1873年，人类才证明了第一个不是 "故意创造" 的超越数。夏尔·埃尔米特证明了 e 是个3超越数.

在公元 1882年，费迪南德·冯·林德曼证明了 π 是个超越数。

实际上，虽然有很多超越数，但要证明一个数是超越数是非常困难的……

超越数很常见

大部分实数都是超越数。论证是：

• 代数数是 "可数的"（就是说，非负整数集是 "可数的"，我们可以把代数数与非负整数一对一排列，所以代数数也是可数的。）
• 但实数是 "不可数的"。
• 因为实数不是代数数便是超越数，所以超越数是 "不可数的"。
• 因此，超越数的数量比代数数要多很多。

超越函数

如超越数 "不是代数数" 一样，超越函数也 "不是代数函数"。

正式地说，超越函数是不能以有穷的步骤由初等函数及其反逆函数生成的函数。

一个超越函数的例子是正弦函数 sin(x)。