多项式的行为
多项式看起来像这样： |
| 多项式例子 |
连续及平滑
多项式的图有两个主要行为：
多项式的图是连续的。"连续"是个专用词，在微积分中有严谨的定义，但这里我们用这个简单的定义：
可以笔不离纸画出来
多项式的图也是平滑的，没有尖"角" 或 "波峰"
图的特性
我们先画一些图来看看……
……先看一个最简单的图：
f(x) = xn
有一些有趣的事实：
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若"n"是偶数，便有以下的行为：
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同时：
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若 "n" 是奇数，便有以下的行为：
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n 次幂函数
加上一个乘数 a，这便成为 "幂函数":
f(x) = axn
f(x) 等于 a 乘以 x 的 n "次方"（n 是指数）
"a" 把图这样改变：
- a 越大，图就越被向 y轴 压缩
- a 越小，图就越被向 y轴的两边扩大
- 负数的a 把图上下倒转
| 例子：f(x) = ax2 a = 2, 1, ½, −1 |
例子：: f(x) = ax3 a = 2, 1, ½, −1 |
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我们可以用这些行为来帮助我们绘制多项式的图：
例子：画 y=1−2x7 的图
从最简单的 "奇幂函数" x3 的图 开始，一步一步把它变成 1−2x7
- 我们知道 x3 的样子，
- x7 也差不多，但在零的附近比较平坦，在其他地方则比较陡，
- 把它向 y轴 压缩成 2x7，,
- 上下倒转来得到 −2x7，最后
- 向上移 1 便成为 1−2x7。
像这样：
逐步来做就可以得到好结果.
转向点
转向点是当函数是 局部极大值或局部极小值时的 x 值：
一个多项式有几个转向点？
永远不会多过次数减一
例子：4次多项式有 3个（或少于 3个）转向点
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| x4−2x2+x 有 3 个转向点 |
x4−2x 只有 1 个转向点 |
最多 是 3个，但可能少于 3个。
我们可能不知道它们在哪里，但我们至少知道最多有几个！
当多项式趋近极端时是怎样的
当远离零的时候：
- 在右边（大的 x值），或
- 在左边（大的负 x值）
图便会与 y = axn 的图相似，其中 axn 是 次数最高的项。
例子：f(x) = 3x3−4x2+x
在左边或右边远离原点，图和 3x3的图相似
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| 在零附近，图是 不同的 |
远离零，图是 相似的 |
这是合理的，因为当 x 的值是很大的时候，x3 比 x2等都大很多
这特性的正式名称是"极端行为模型".
好了，我们讲完了！
总结
- 图是 连续 和 平滑 的
- 偶指数的多项式的行为是：值大于或等于 0； 经过 (0,0)、(1,1) 和 (−1,1)；n（指数）越大，在零附近越平坦，在其他地方上升得也比较快。
- 奇指数的多项式的行为是：从x 和 y 同是负数去到 x 和 y 同是正数； 经过 (0,0)、(1,1) 和 (−1,−1)；n（指数） 越大，在零附近越平坦，在其他地方上升或下降得也比较快
- 乘以常数：
- 乘以大的常数把图向 y轴压缩
- 乘以小的常数把图向离开 y轴的方向扩大
- 乘以负数把图上下倒转
- 转向点：有不多于 "次数 − 1" 个转向点。
- 极端行为：最大指数的项决定多项式的极端行为