极限（求值）

你应该先去阅读 极限（入门）

简略重温极限

有时我们不能直接计算一个事物的值……可是我们可以去看看越来越接近它时的情形！

0/0 不好做！没有人知道 0/0 是多少（它是 "不确定的"），所以我们要另辟蹊径。

我们不直接求在 x=1 的值，我们 趋近 它来看看：

这很有趣：

• 在 x=1，我们不知道答案（它是 不确定的）
• 但我们也知道答案越来越接近 2

我们想说： "答案就是 2"，但我们不能这样说，所以数学家用一个特别的名词来形容这个情况："极限"

当 x 趋近 1 时， (x²−1) (x−1) 的 极限 是 2

用符号来写就是：

这是用一个特别的说法来说： "不管在那里是什么，但 x 越来越接近 1 时答案便越来越接近 2"

在图上是这样的： 因此，实际上我们不能说在 x=1 时的值是多少。 但我们可以说："趋近 1 时，极限是 2。"

极限求值

"求值" 的意思是计算……的值

在上面的例子里，极限是 2，因为函数趋近 2。但这样说是不够的！

其实有很多方法去求精确的答案。我们来看看其中几个：

 

一、代入变量的值

首先要尝试的方法是代入变量的值，来看看可不可以直接算出答案（换句话说，代换）。

试试一些例子：

例子		代入	行吗？
		(1−1)/(1−1) = 0/0
		10/2 = 5

在第一个例子里，代换法不管用，但在第二个例子里我们很容易得到答案。

 

二、因式

我们可以尝试 因式分解。

例子：
因式分解 (x2−1) 为 (x−1)(x+1)，我们得到：
我们现在可以代入 x=1 来求极限：

 

三、共轭

若函数是个分数，把上面和下面乘以 共轭 可能会有帮助。

在 x=4，函数是 0/0，不太好！

我们来重排一下：

上面和下面都乘以上面的共轭：
用 简化上面:
简化上面：
上面和下面消去 (4−x)：

结果是：

大功告成！

 

四、在无穷大的极限和有理函数

有理函数 是两个多项式的比：
例如，在这里 P(x) = x3 + 2x − 1，Q(x) = 6x2：

如果我们知道 函数的次数，我们便可以知道函数的极限是 0、正无穷大、负无穷大或很容易地用系数计算出极限来。

去阅读 在无穷大的极限 来了解更多。

 

五、正式方法

正式方法是去证明可以把 "x" 无限接近 "a" 来无限接近答案。

去 极限（正式定义） 来了解更多