三角法入门

英语 Trigonometry (源自希腊语 trigonon: "triangle(三角)" + metron: "measure(测量)")

有兴趣学习三角法吗?这是一个简单的摘要。
请浏览以下链接或去三角索引看看

三角形 三角法……是关于三角形的学问。

三角法帮助我们求角度和距离。在很多不同的领域,例如科学、工程、电玩等等,三角法都大有用场!

直角三角形

最重要的三角形是 直角三角形。在角落的小正方形便是代表那个角是个直角:

三角形显示对边、邻边和斜边

另外一个角通常是标志为 θ,三条边的名字是:

正弦、余弦和正切

我们可以用三角法来求一条边的长度或一个角的角度。常用的函数正弦、余弦和正切

这些函数只不过是三角形一边的长度除以另一边的长度。

对一个角 "θ":

sin=对边/斜边 cos=邻边/i饿扁 tan=对边/邻边

(正弦、余弦和正切通常被简写为 sin、cos 和 tan。)

 

例子:35°的正弦是多少?

三角形 2.8 4.0 4.9 有 35 度的角

用这个三角形(长度精确到一位小数):

sin(35°) = 对边 / 斜边 = 2.8/4.9 = 0.57……

计算器有 sin、cos 和 tan 的功能,我们来看看怎样使用:

直角三角形 45 度,斜边 20

例子:未知的长度是多少?

正弦对边 / 斜边 的比:

sin(45°) = 对边 斜边

计算器sin-cos-tan

把 "45" 打入计算器,然后按 "sin" 键:

sin(45°) = 0.7071……

现在我们知道:

0.7071…… = 对边 20

我们用代数来解。先换边:

对边 20 = 0.7071……

每边乘以 20 (斜边的长度):

对边e  = 0.7071…… × 20
   = 14.14 (保留两位小数)

做好了!

来试试正弦、余弦和正切

移动鼠标来看看不同点角度对正弦、余弦和正切有什么影响:

请留意,基于笛卡尔坐标的规矩,边长可以是正数或负数。故此,正弦、余弦和正切的值也会是正数或负数。

 

单位圆

单位圆

你刚才玩的是 单位圆

单位圆是圆心在 0,半径为 1 的圆形。

因为半径是 1, 我们可以直接在单位圆中测量正弦、余弦和正切的值。

在这里可以看到在单位圆里的正弦函数:

所以,三角法也是和 圆形有关联的!

注意:你可以看看这些美丽的正弦、余弦和正切图

度与弧度

角的单位可以是弧度。以下是一些例子:

弧度
直角直角  90° π/2
__ 平角 180° π
直角 全转 360° 2π

重复的规律

因为角是环绕着圆周转动的,正弦、余弦和正切也每个全转重复一次 (去 振幅、周期、相移和频率 看看)。

若需要求大于一个全转,就是 360°(2π 弧度)的角的函数,便要把角度转变为小于 360°(2π 弧度):

例子:370°的余弦是多少?

370°大于 360°,所以要减去 360°

370° − 360° = 10°

cos(370°) = cos(10°) = 0.985 (保留三位小数)

若角度是负数,便要加 360°(或其倍数)。

例子:−3 弧度的正弦是多少?

−3 小于 0,所以要加 2π 弧度

−3 + 2π = −3 + 6.283…… = 3.283…… 弧度

sin(−3) = sin(3.283……) = −0.141 (保留3位小数)

解三角形

三角法里的一个重要运算是 解三角形。 "解" 的意思是求未知的边和角。

例子:求未知角 "C"

三角 ASA 例子

C 可以用 三角形的内角的和是 180° 来求:

所以 C = 180° − 76° − 34° = 70°

我们也可以求未知的边长。一般规则是:

若已知任意三个边长或角度,则可求未知的三个
(除了已知三个角度的情况外)

 

去看 解三角形 来了解更多。

其他函数(余切、正割、余割)

和正弦、余弦和正切一样,另外还有三个以边长的商为值的 三角函数

三角形显示对边、邻边和斜边

余割函数:
csc(θ) = 斜边 / 对边
正割函数:
sec(θ) = 斜边 / 邻边
余切函数:
cot(θ) = 邻边 / 对边

 

三角法和三角形恒等式

当你对三角法有初步的了解后,你可以去学习这些:

直角三角形

三角法恒等式 是对于所有直角三角形成立方程

三角形

三角形恒等式 是对于所有三角形(不一定要是直角三角形)都成立的方程。

 

恭喜你成为三角形(和圆形)的专家!