弧长
用微积分来求曲线的长度。
（请先去阅读关于 导数 和 积分 的内容）
想象我们需要知道一条曲线上两点之间的距离，而这曲线是平滑的（导数是 连续的）。
我们可以把曲线切成小段，然后用 两点之间的距离 的公式来求一个近似值。
从 x0 到x1：
S1 = √ (x1 − x0)² + (y1 − y0)²
我们用 Δ （delta） 来代表值的差，所以：
S1 = √ (Δx1)² + (Δy1)²
我们需要很多这样的长度：
S2 = √(Δx2)² + (Δy2)²
S3 = √(Δx3)² + (Δy3)²
……
……
Sn = √(Δxn)² + (Δyn)²
我们可以用 总和 的记法把全部的方程写在一个式子里：
可是，我们还是要做很多计算！
我们可以用一个很大的电子表格或者写一个计算机程序来做……不过在这里我们用另一个方法。
一个巧妙的方法：
- 让所有的 Δxi 都是 一样长，那么我们便可以把它们从平方根里拿出来，
- 把总和变成一个积分。
来，开始：
首先，用 Δyi 除以 和 乘以 Δxi：
分解出 (Δxi)²：
把 (Δxi)² 从平方根里拿出来：
当 n 趋向 无穷大时 （趋向无穷多的线段，每段越来越小），总和变成：
这是一个 积分 ，我们用 dx 来代表 Δx 的长度趋向零（dy 也一样）：
dy/dx 是函数 f(x) 的 导数，可以写成 f’(x)：
弧长公式
我们不但不用计算和相加很多小线段的长度，我们还可以得到一个绝对准确的答案（假设我们可以求公式里的微分和积分）。
注意：这个积分也适用于变量是 y 的函数， x=g(y)：
所以步骤是：
- 求 f’(x) 的 导数
- 解 √1 + (f’(x))² dx 的 积分
先看一些简单的例子：
例子：求 f(x) = 2 在 x=2 和 x=3 之间的距离
f(x) 是条水平线，所以导数是 f’(x) = 0
| 开始： | S =
3
∫
2
√1 + (f’(x))² dx
|
|
| 代入 f’(x) = 0： | S =
3
∫
2
√1 + (0)² dx
|
|
| 简化： | S =
3
∫
2
dx
|
|
| 求积分： |
S = (3-2) = 1 |
所以 2 和 3 之间的弧长是 1。答案其实一眼就可以看出来，不过我们至少知道用弧长公式也可以得到正确的答案！
有趣的是： 弧长公式里的 "(1 + ...)" 部分使得答案 至少 是 x 坐标之间的距离，当 f’(x) 等于零时（如上）便是一个例子。
例子：求f(x) = x 在 x=2 和 x=3 之间的长度
导数：f’(x) = 1
| 开始：: | S =
3
∫
2
√1 + (f’(x))² dx
|
|
| 代入 f’(x) = 1：: | S =
3
∫
2
√1 + (1)² dx
|
|
| 简化： | S =
3
∫
2
√2 dx
|
|
| 再简化： | S = √2
3
∫
2
dx
|
|
| 求积分： |
S = √2(3-2) = √2
|
单位正方形对角线的长度是 2 的平方根，对不对？
好，现在来看一些困难但实用的例子：
例子：在峡谷上空每隔6米放一根金属杆。
求形状如以下曲线的索桥的长度：
f(x) = 5 cosh(x/5)
曲线的图如下：
我们先来解一般情况！
悬挂的链的形状是一条叫 悬链线 的曲线：
f(x) = a cosh(x/a)
a 的值越大，线中间下垂越小
"cosh" 是 双曲余弦 函数。
导数是：f’(x) = sinh(x/a)
曲线是对称的，所以只用悬链线从中间到端点"b"的半条来做运算会比较容易：
| 开始： | S =
b
∫
0
√1 + (f’(x))² dx
|
|
| 代入 f’(x) = sinh(x/a)： | S =
b
∫
0
√1 + sinh²(x/a) dx
|
|
| 用这个恒等式 1 + sinh²(x/a) = cosh²(x/a)： |
S =
b
∫
0
√cosh²(x/a) dx
|
|
| 简化： | S =
b
∫
0
cosh(x/a) dx
|
|
| 求积分： | S = a sinh(b/a) |
因为有对称，我们只算了线的一半，整条线是从 −b 到 +b：
S = 2a sinh(b/a)
在现在的 具体情况中，a=5 并且从 −3 到 +3 是 6米 的距离
S = 2×5 sinh(3/5)
= 6.367米 （精确到最近的毫米）
这个很重要！如果金属杆之间的链的长度是刚好 6米，我们便不能把链拉紧到可以连接两根金属杆，但如果长度是 6.367米就正好了。
例子：求 y = x(3/2) 在 x = 0 到 x = 4 之间的长度
导数是 y’ = (3/2)x(1/2)
| 开始： | S =
4
∫
0
√1 + (f’(x))² dx
|
|
| 代入 (3/2)x(1/2)： | S =
4
∫
0
√1 + ((3/2)x(1/2))² dx
|
|
| 简化： | S =
4
∫
0
√1 + (9/4)x dx
|
我们可以用 换元积分法：
- u = 1 + (9/4)x
- du = (9/4)dx
- (4/9)du = dx
- 上下限：u(0)=1 和 u(4)=10
| 得到： | S =
10
∫
1
(4/9)√u du
|
|
| 求积分： | S = (8/27) u(3/2) 从 1 到 10 | |
| 计算： | S = (8/27) (10(3/2) - 1(3/2)) = 9.073…… |
结论
弧长公式是：
步骤：
- 取 f(x) 的导数
- 写下弧长公式
- 简化并解积分