相似三角形定理

一、平行线截比例线段定理

相似三角形 ABC 和 ADE

设 ADE 为任何三角形,而线段BC 平行于 DE,则 AB/BD = AC/CE

要证明这个定理,画线段BF 平行于 AE 来形成平行四边形BCEF:

相似三角形 ABC 和 ADE: BF 和 EC 同样

三角形 ABC 和 BDF 有相等的角,所以是相似三角形(为什么?去相似三角形的判定AA 的部分。)

角平分线定理

相似三角形ABC 点D

设 ABC 为任何三角形,而AD 平分角BAC,则 AB/BD = AC/DC

要证明这个定理,可以这样标记三角形:

相似三角形角x 和 x 在 A 及 角y 和 180-y 在 D

在三角形 ABD上运用正弦定理

sin x°/BD = sin y°/AB

所以 AB × sin x° = BD × sin y°

所以:

AB/BD = sin y°/sin x°

在三角形 ACD上运用正弦定理:

sin x°/DC = sin(180 - y)°/AC

所以 AC × sin x° = DC × sin(180 - y)°

所以 AC/DC = sin(180 - y)°/sin x°

因为 sin(180 - y)° = sin y°

所以:

AC/DC = sin y°/sin x°

AC/DC = sin y°/sin x°AB/BD = sin y°/sin x° 拼合:

AC/DC = sin y°/sin x° = AB/BD

所以 AB/BD = AC/DC

如果三角形ABC 是等腰三角形,三角形ABD 和 ACD 便是 全等三角形,

相似三角形直角在 D

结果是一样的:

AB/BD = AC/DC

三、面积与相似

若相似三角形的边比例是 x:y,

则它们的面积比例是 x2:y2

例子:

这两个相似三角形的边比例是 2:1(一个三角形的边是另一个的两个倍):

相似三角形大与小

那么它们的面积呢?

如果我们多画三条线,答案就浅而易见:

小相似三角形在大的里面三次

我们可以看到可以有四个小三角形放在大三角形里。

因此,如果长度是两倍,面积便是四倍

面积的比是 4:1

4:1 也可以写成 22:1

一般情况:

相似三角形ABC 和 PQR

三角形ABC 和 PQR 是相似的,它们的边比例是 x:y

我们可以用求非直角三角形的面积页面里的公式来求面积

ABC 的面积 = ½bc sin A

PQR 的面积 = ½qr sin P

三角形长度的比是 x:y

q/b = y/x,所以 q = by/x

r/c = y/x,所以 r = cy/x

因为是相似三角形,所以角A 和 P 相等:

A = P

现在来计算:

三角形PQR 的面积   ½qr sin P
     
代入 "q = by/x"、"r = cy/x"、"P=A":   ½(by/x)(cy/x) sin A
     
拼合 (by/x) 和 (cy/x):   ½(bycy/xx) sin A
简化:   ½(bcy2/x2) sin A
重排:   y2/x2 × ½(bc) sin A
     
就是:   y2/x2 × 三角形ABC 的面积

重排后得到的比例是:

三角形ABC 的面积:三角形PQR 的面积 = x2 : y2