相似三角形定理

一、平行线截比例线段定理

要证明这个定理，画线段BF 平行于 AE 来形成平行四边形BCEF：

三角形 ABC 和 BDF 有相等的角，所以是相似三角形（为什么？去相似三角形的判定看 AA 的部分。）

• 边AB 对应边BD，边AC 对应边BF。
• 所以 AB/BD = AC/BF
• 而且 BF = CE
• 所以 AB/BD = AC/CE

角平分线定理

要证明这个定理，可以这样标记三角形：

• 角BAD = 角DAC = x°
• 角ADB = y°
• 角ADC = (180 - y)°

在三角形 ABD上运用正弦定理：

sin x°/BD = sin y°/AB

所以 AB × sin x° = BD × sin y°

所以：

AB/BD = sin y°/sin x°

在三角形 ACD上运用正弦定理：

sin x°/DC = sin(180 - y)°/AC

所以 AC × sin x° = DC × sin(180 - y)°

所以 AC/DC = sin(180 - y)°/sin x°

因为 sin(180 - y)° = sin y°

所以：

AC/DC = sin y°/sin x°

把 AC/DC = sin y°/sin x° 与 AB/BD = sin y°/sin x° 拼合：

AC/DC = sin y°/sin x° = AB/BD

所以 AB/BD = AC/DC

如果三角形ABC 是等腰三角形，三角形ABD 和 ACD 便是 全等三角形，

结果是一样的：

AB/BD = AC/DC

三、面积与相似

例子：

这两个相似三角形的边比例是 2：1（一个三角形的边是另一个的两个倍）：

那么它们的面积呢？

如果我们多画三条线，答案就浅而易见：

我们可以看到可以有四个小三角形放在大三角形里。

因此，如果长度是两倍，面积便是四倍

面积的比是 4：1

4：1 也可以写成 2²：1

一般情况：

三角形ABC 和 PQR 是相似的，它们的边比例是 x：y

我们可以用求非直角三角形的面积页面里的公式来求面积

ABC 的面积 = ½bc sin A

PQR 的面积 = ½qr sin P

三角形长度的比是 x：y

q/b = y/x，所以 q = by/x

r/c = y/x，所以 r = cy/x

因为是相似三角形，所以角A 和 P 相等：

A = P

现在来计算：

重排后得到的比例是：

三角形ABC 的面积：三角形PQR 的面积 = x² ： y²