数的演变

让我们一起去体验一个历奇之旅……

……在数字宇宙里的奇妙旅程。

启航！

数数（正整数）

我们可以用数来计数：1、2、3、4……

从远古开始，人类已经用数来计数。这是个自然不过的行为。

• 你可以有 "3个朋友",
• 田园上可以有 "6头牛"
• 等等。

所以一开始就有：

在很长一段时间，人类在日常生活里只需要 "数数" 就够用了。

零

零对我们来说是个自然的概念，但对早期的人类则不是这样……如果什么都没有，你怎样计数？

例子：你可以数有多少条狗，但你不能数空间：

两条狗		零条狗？零只猫？

空的草地就是空的草地！

位置标志符

大约 3,000年前，人们开始使用零来分辨好像 4 和 40 等的数字，以避免混淆。

人们用一个 "位置标志符"，例如空位或特别符号，来显示 "这个位置没有数字"

5 2	所以 "5 2" 的意思是 "502" （5百，没有十，2个一）

这就是零的初始概念。一千年后，人们开始把零当作一个数。

我们可以这样想：

"我有 3个橙子，我全都吃了，现在我有零个橙子……！"

整数

把零加到数数中就是一个新数集。

叫 "非负整数"：

自然数

非负整數也叫 "自然数"，但自然数的定义是存在争议的：

在中国大陆，小学教科书对 "自然数" 定义是这样的：

• 2000年左右以前：不包括 0：{1, 2, 3,……}（就是正整数或数数）
• 2000年左右以后：包括 0：{0, 1, 2, 3,……}

所以如果要绝对清晰，就要声明是否包括零。

负数

数学的历史是充满了询问问题与寻找答案的过程的！

一个好问题是

"如果你可以向一个方向走，你也可以向相反方向走吗？"

我们可以向前数:1、2、3、4……

……那么，反过来数呢? 3、2、1、0…… 接下来是……

答案是：负数：

现在可以向前和向后数了

但数怎样可以是 "负" 的？

小于零就是负数。

 

负头牛？

理论上可以有负一头牛！

想象这个情形……如果你刚卖了两头公牛，但你只找到一头交给买家……你便是拥有负一头牛……你欠一头牛

所以负数是实际存在的，我们要另一个数集了……

整数

把负整数和非负整数的合并就是一个新数集，称为整数

整数包括零、正整数（数数）和负整数，它向正负方向无穷延续。

 

分数

如果你想和另一个人共享一个橙子，你需要把橙子切成两半。 你发明了一种新的数字！

你用一个数（1）除以另一个数（2）来得到一半（1/2）

同样，三个人（3）要共享四（4）块饼干……每个人得到（4/3）块。

新数种，叫：

有理数

任何可以写成分数的数就是有理数。

所以，若 "p" 和 "q" 是整数（如上），则 p/q 是个有理数。

唯一例外是当 q 等于零时，因为除以零是未定义的。

所以一半（½）是个有理数。

2 也是有理数，因为你可以把 2 写为 2/1

所以，有理数包括：

• 所有整数
• 所有分数。

甚至 13.3168980325 也是个有理数。

13.3168980325 = 133,168,980,325 / 10,000,000,000

所有的数都包括在有理数里了，对吗？

可是，还有更多

人就是好奇的……在希腊数学家毕达哥拉斯的时代，有一个很具争议性的问题：

边长为 "1" 的正方形的对角线有多长？

答案是 2 的平方根，等于 1.4142135623730950……

但它不是一般的数，像 3 或三分之五……

……实际上问题的答案是不能用分数来表达的

2 的平方根 ≠ p/q

……所以它不是个有理数 （去这里了解更多）

惊艳！有些数不是有理数！它们叫什么？

什么 "不是有理" 的……？无理！

无理数

2 的平方根（√2）是个无理数。它被称为无理数，因为它并不是有理数（不能以两个整数的比来表达）。不是横蛮，只是无理。

我们知道很多无理数。圆周率――Pi （π）是个有名的无理数。

有用

无理数很有用。你需要无理数来

• 计算一些正方形对角线的长度、
• 做很多与圆有关的计算（用π）、
• 还有很多。

所以我们又需要一个

包括无理数的数集……

实数

哈！又一个新名词！

实数包括：

• 有理数、
• 无理数、

实数：{x：x 是有理数或无理数}

实数可以是实数直线上的任何一点：

上面只显示几位小数（它只是个简单的计算器），
但实际上实数可以有很多位小数！

实数直线的任何位置的任何点，应该差不多了吧！

但还有一个非常有用的数种。这数种也是源于一个问题的。

虚想……

问题是：

"负一有平方根吗？"

换句话说，什么数与自己相乘是 −1？

小心想想：一般的数和自己相乘的结果都不会是负数：

• 1×1 = 1,
• (-1)×(−1) = 1（因为负负得正）

什么数与自己相乘是−1？

通常这是不可能的，但是……

"虚幻成真"

因此…….

虚数

……我们虚想负一的平方根存在。 我们甚至给它一个特定符号：拉丁字母 i

我们可以用它来解答这样的问题：

例子：−9 的平方根是多少？

答案：√(−9) = √(9 × −1) = √(9) × √(−1) = 3 × √(−1) = 3i

答案里还有个 i，但这是个合理并一致的答案。

i 有个有趣的属性。它的平方，（i×i）等于 −1，是个实数。实际上，这是虚数的严格定义：

虚数：一个平方为负实数的数。

并且，i（−1 的平方根）乘以任何实数是个虚数。所以以下的都是虚数：

• 3i
• -6i
• 0.05i
• πi

虚数在很多邻域都很有用，例如电学和电子学。

实数与虚数

当初，虚数被视为不实际的，所以被称为 "虚"数。实数的名称就代表它是实际的。

因此，这些名字都是经过历史过滤的。现实世界里不能只用 "实"数，而虚数也不是"虚无缥缈"的……两种数都同样有用！

其实实数与虚数经常用在一起……

"把实数和虚数结合起来会怎么样？"

复数

把实数与虚数放在一起是一个新数种，叫复数。这是一些例子：

• 3 + 2i
• 27.2 − 11.05i

复数有实部和复部，但每个部分都可以是零：

所以实数也是复数（复部为零）：

• 4 是个复数（因为它是 4 + 0i）

同样，虚数也是复数（实部为零）：

• 7i 是个复数（因为它是 0 + 7i）

所以复数包括所有实数、所有虚数和所有实数与虚数的组合。

 

就是这么多！

这就是数学里所有数的种类。

从数数到复数。

也有其他的数，因为数学博大精深，但现在我们就只讲这么多。

总结

这是全部的数种：

数的种类	简介
数数（正整数）	{1, 2, 3, ……}
非负整数	{0, 1, 2, 3, ……}
整数	{……, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ……}
有理数	p/q：p 和 q 是整数，q 不是零
无理数	非有理数
实数	有理数和无理数
虚数	平方是个负实数
复数	实数与虚数的结合

 

尾注

历史

数学的历史广泛渊远，不同的文化（希腊、罗马、亚拉伯、华夏、印度、欧洲）跟随不同的路径去探索数学，有很多 "谁先发现？" 的问题，但大致上和我这里讲的次序差不多。

问题

敢于发问，像

• "如果反过来数到小于零又怎么样"，或
• "正方形的对角线有多长"

这些问题在开始时往往引起争议（甚至嘲笑！），但最终都导致伟大的突破。

今天人们在问什么问题呢？

轮到你了！

每一次学习新东西时，你都应该问这两个问题：

可以反过来吗？

• 正数变成负数
• 平方变成平方根
• 等等

用在其他地方可以吗？

• 如果分数是一个数，我们可以把分数相加、相减等等……吗？
• 可以把复数开方吗？（可以吗？）
• 等等

可能有一天你的问题会导致伟大的突破！

 

 

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