解多项式
多项式看起来像这样： |
| 多项式例子 |
求解
"求解" 的意思是求 "根"……
……"根"（或 "零点"）是函数等于零的点：
在根与根之间，函数是
全部在 x轴上面或全部在x轴下面
我们怎样去解多项式？这与多项式的 次数 有关！
次数
解多项式的第一步是求它的次数。
一元多项式的次数 是。。。。。
……变量最大的指数。
知道次数后我们也可以给多项式一个名字：
怎样去解
知道次数了，怎样去解
如果有一个乍看不能解的多项式，我们怎么办？试试逐部分来解！
若我们找到一个根，我们便可以把多项式简化为次数减少了一的多项式 （下面有例子），这样我们便可能可以继续去求整个多项式的解。
以下是求解的主要方法。
一、基本代数
可能用基本代数来解就可以了：
例子：2x+1
2x+1 是个线性多项式：
y = 2x+1 的图是条直线
是个线性多项式，所以有一个根。
用代数求解：
"根" 是 y 等于零的地方：2x+1 = 0
每边减 1：2x = −1
每边除以 2：x = −1/2
答案：
x = −1/2
（你也可以在图上看到答案）
我们也可以用基本代数来解二次多项式（看看网页来了解更多）。
二、凭经验，甚至猜测。
因式分解也是个值得尝试的好方法：
例子： x3+2x2−x
这是三次式……慢着……我们可以把 "x" 分解出来：
x3+2x2−x = x(x2+2x−1)
我们找到一个根（x=0），剩下来的是个可以解的二次式。
例子：x3−8
这是三次式……但也是"立方差"：
x3−8 = x3−23
所以我们可以把它化为：
x3−8 = (x−2)(x2+2x+4)
x=2 是个根，因为：
(2−2)(22+2×2+4) = (0)(22+2×2+4)
接下来我们可以解这个二次式： x2+2x+4 来得到完整的答案
三、画图。
为多项式画个图，看看线在哪里与 x轴交叉。
 |
我们可以把多项式输入到函数画图器，然后扩大图象来看看在哪里与 x轴交叉。 |
画图是求根的近似值的好方法，有时甚至可以找到准确的答案。
警告：绘图前你应该先了解多项式的行为，从而知道怎样去得到所有的答案！
因式
这个有用：若多项式可以分解成这样：
f(x) = (x−a)(x−b)(x−c)……，
则 a、 b、c 等便都是 根！
所以线性因式和根是互相有关联的，从一个可以找到另一个。
（去看因式定理来了解更多。）
例子：f(x) = (x3+2x2)(x−3)
我们看到 "(x−3)"，这就是说 3 是函数的根（或 "零点"）。
为什么？
我们把 "3" 代入 x 里：
f(x) = (33+2·32)(3−3)
f(x) = (33+2·32)(0)
哈！乘以零！
不用做了，答案是零。
怎样检验
找到一个根？别忘了要检验！
把找到的根代入 "x" 里：多项式应该等于零。
例子： 2x3−x2−7x+2
这是三次多项式，很难解。我们先画个图：
曲线在三点经过 x轴，其中一点可能是 2。检验很容易，把 "x" 代以 "2"：
f(2) = 2(2)3-(2)2−7(2)+2 = 16−4−14+2 = 0
对了！f(2)=0，所以找到一个根了！
曲线也在 −1.8 附近和 x轴交叉：
f(−1.8) = 2(−1.8)3-(−1.8)2−7(−1.8)+2 = −11.664−3.24+12.6+2 = −0.304
不，这不等于零，所以 −1.8 不是个根（但可能离一个根很近！）
但我们
例子（续）：2x3−x2−7x+2
f(2)=0 是个根……所以我们也找到一个因式：
(x−2) 是 2x3−x2−7x+2 的因式
接下来，把 2x3−x2−7x+2 除以 (x−2) （用 多项式长除法 来做），结果是：
2x3−x2−7x+2 = (x−2)(2x2+3x−1)
最后，我们用解二次方程的方法去解 2x2+3x−1 来得到所有的根。
上面的例子告诉我们先找到一个根是很有用的。记着：
若我们找到一个根，我们可以把次数减少 1，这样便可能找到整个多项式的解了。
离左右多远
求解的时候，我们需要找到离零左右多远的地方才停止？
有一个方法可以知道，但需要做一些简单的算术计算。去 零点的上下界 来了解更多。
找到所有的根了吗？
有一个简单的方法去知道总共有几个根。代数基本定理说：
次数为 n 的多项式……
……
有 n 个根（零点）
但这可能涉及到复数
根的数量 = 多项式的次数。
例子：2x3 + 3x − 6
次数是 3 （因为最大的指数是 3），所以：
有 3 个根。
可是，有些可能是复根
对，有些根可能是 复数（就是，有 虚数 部分），而不能在图上看到为与 "x轴的交叉点".
但是，有一个有趣的事实：
复根一定是成双成对的！
所以我们可以 没有 复根，或有 2个复根、或有4 个复根……但永远不会是奇数。
这代表我们知道：
| 次数 | 根 | 可能组合 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 实根 |
| 2 | 2 | 2 实根，或 2 复根 |
| 3 | 3 | 3 实根，或 1 实根和 2 复根 |
| 4 | 4 | 4 实根，或 2 实根和 2 复根，或 4 复根 |
| etc | 等等！ |
正根还是负根？
也有一个方法去求有几个根是负数或正数，这方法叫正负号规则。你可以去看看！
根的重数
有时一个因式可以出现数次。我们叫这现象为重数：
重数是一个根在分解里出现的次数。
例子：f(x) = (x−5)3(x+7)(x−1)2
这可以冗长地写为：
f(x) = (x−5)(x−5)(x−5)(x+7)(x−1)(x−1)
(x−5) 用了 3 次，所以 "5" 是个"重"根，重数是 3，同样， (x+7) 出现了一次， (x−1) 出现两次，所以：
- 根 +5 是个"重"根，重数是 3
- 根 −7 是个"单"根，重数是 1
- 根 +1 是个"重"根，重数是 2
问：重数有什么用？
答：重数使多项式的图有特别的行为！
若多项式有这样的因式： (x-r)n，"n" 便是重数，同时，
- 若重数是偶数，曲线刚好在 "r" 接触 x轴（曲线在 x轴的一边）
- 若重数是奇数，曲线在 "r" 经过 x轴 （从 x轴的一边到另一边）
看看这图例：
例子：f(x) = (x−2)2(x−4)3
(x−2) 有 偶重数，所以曲线在 x=2 刚好接触 x轴
(x−4) 有 奇重数，所以曲线在 x=4 经过 x轴
像这样：
总结
- 我们可以直接解一次（线性）多项式及二次多项式
- 三次或以上的多项式，画图可能会有帮助
- 这些也会有帮助：
- 知道根离开零最远有多远
- 知道总共有几个根（等于多项式的次数）
- 估计有几个复根、正根和负根
- 重数是一个根在分解里出现的次数。